A QUATRE DIMENSIONS. 5 



bres chercliés dans leur dépendance mutuelle, ce qui abrège consi- 

 dérablement le travail. 



Les instruments dont nous nous servirons dans ce (|ui suit, se 

 réduisent à d(;u\ [nincipes fondamentaux, le principe de corres- 

 pondance de Chasj.es dans sa forme la ])lus simple et le principe 

 de la conservation du iiond)re. Pour faciliter la lecture de notre 

 étude nous donnons ici l'énoncé de ces deux principes qui forment, 

 en effet, la base de toute la géométrie énnmérative. 



Le principe de correspondance de Chasjjîs dit: ,,S'il existe une 

 ,, correspondance {m, n) entre denx éléments a et b faisant partie d'une 

 ,,niême série simplement infinie d'éléments, de manière que dans 

 „cette série il correspond un nondjre i/i d'éléments déterminés a à un 

 „élément h donné et un nombre n d'éléments déterminés h à un 

 „élément a donné, il arrive /// + // fois (pie deux éléments corres- 

 ,, pondants a i^X b coïncident." Dans la forme algébrique suivante on 

 en intervoit innnédiatemenl la démonstration: ,,Si les variables <i' et // 

 „dépendent l'une de l'autre à l'aide d'une écpiation /(et', //) = 0, où 

 „f{x,y) est un polynôme de l'ordre; m en x et de l'ordre n en y, il 

 „y a m + Il couples de valeurs coirespondantes x,j/, où x = i/." 



Le principe de la conservation du nombre peut être fornuüé de 

 la manière suivante: „Si un nondue infini d'ordre de multiplicité 

 ,,jy [p = {), 1, 2, etc.) dépendant de quelques figures données conserve 

 „son ordre d'infinité p, quand on varie d'une manière déterminée 

 „les rapports mutuels de position de ces figures, ce nombre ne 

 ,, change pas du tout." Ordinairement on en fait ressortir la signi- 

 fication par rexenq)le très connu des deux transversales communes 

 de ([uatre droites en /i'^ cpii se croisent, oùy; = 0; si l'on rem- 

 ])lace ces cpiatres droites |)ar deux couples de droites ([ui se cou- 

 pent, on trouve encore deux transversales comnuuies, la jonction 

 des deux points d'intersection de ces couples et l'intersection de 

 leurs plans. En dernière analyse la démonstration de ce principe 

 extrêmement fertile repose sur la possibilité de passer de la posi- 

 tion originale des figures données à toute autre ])osition par une 

 succession de déplacements et de déformations infiniments petits. 



La rédaction de ce travail nous a servi nous-môme (îomme sujet 

 d'étude de la géométrie énnmérative; nous le publions dans l'espoir 

 d'éveiller l'envie de se familiariser avec les belles recherches de 

 M. Schubert, sans lesquelles — nous l'avouons volontiers — il 

 nous aurait été impossible d'atteindre le but proposé ^). 



') Il est singulier qu'une traduction française du travail principal de M. Schubert 

 ou bien la publication d'un travail analogue français se fait encore attendre. 



