A QUATEE DIMENSIONS. 1 1 



On a /^,,/5»/ = 0^0^=0. Car en general la droite donnée B de la 

 condition hi, ne se trouve pas dans le plan donné C de la condi- 

 tioii /)^. 



On a ô^/j^^-^O. Car en général l'espace domié I) de la con- 

 dition /jj ne passe pas par le point donné A connnun aux droites 

 qui satisfont à la condition /^„, 



Enfin on ?ib^^B. Car la droite qui rencontre trois droites don- 

 nées, est en même tenq)s l'intersection des trois espaces déterminés 

 par ces droites prises deux à deux. 



11 va sans dire rpi'on déduit les résultats corrélatifs CqC^^O, 

 c„6',j = (), c„'Cc = C',,6v=(), c,,c,,= () et c^'^T^C d'une manière complète- 

 ment analogue. 



3. Lieux géométriques en rapport avec les résultats trouvés. 



L'énumération de tous les lieux géométriques en rapport avec 

 les relations déduites équivaut à peu près à l'extension complète 

 de la géométrie de position, comme M. Th. Reye l'a perfectioiuiée, 

 à l'espace à quatre dimensions et tombe donc hors du cadre de 

 ce travail. Tout ce (jue nous nous proposons ici c'est d'effleurer 

 légèrement les lieux géométriques les plus sinq)les en rapport avec 

 les équations li\-^2B, /H,.^2B, b'ba = 2B, b\=^HB, //^5B 

 et les écjuations corrélatives, lieux géométriques (|ue l'on obtient en 

 omettant une ou [)lusieurs des conditions (|ui entrent dans le pre- 

 mier mend)re de ces étjuations. Mais avant (Vy procéder il faut 

 que nous intercalions une couph; de remanpies. 



D'abord dans l'espace A^j à trois dimensions une courl)e du 

 second ordre est plane, à moins ((u'elle ne dégénère en deux droites 

 (|ui se croisent; car le plan iikmk' |)ar trois points pris au hasard 

 sur cette courbe la coupe en un nombi'e de points surpassant l'ordre 

 de la courbe, ce qui implifpie que ce plan contient la courbe en- 

 tière, si elle est simple. Un raisonnement tout à. fait analogue 

 démontre qu'en A\ toute courbe simple du seccmd ordre est plane, 

 toute courbe siin])le du troisième ordre se trouve en un J^^ et — 

 ce qui nous intéresse ici —^ (ju'en ^^4 toute surface du second 

 ordre se trouve dans un A^, à moins qu'elle ne consiste de deux 

 plans à un seul point connnun. En effet, si A^, A.2, A^, A^ sont 

 quatre points quelcon([ues non conqjlanaires d'une surface du se- 

 cond ordre, le plan C' par yi,, A^, ^-^ coupe cette surface en un 

 nombre de points non collinéaires surpassant l'ordre de la surface 

 et en contient donc une infinité située sur une conique par A^, 

 A2, A^; ce qui inqilique que l'espace U^ par A^, A^, A.^, A^ coupe 



