12 LES HYPERQÜADRIQUKS D.VNS L'ESPAOI'] 



la surface suivant cette conique et un point, et en contient donc 

 une infinité double de points, etc. Ainsi l'ordre des surfaces qui 

 ne se trouvent pas en un E.^, disons l'ordre des surfaces tordues, 

 surpasse deux. 



Ensuite, le coefficient de B dans le second membre de l'équation 

 dont on déduit les lieux en ([uestion, représente toujours l'ordre 

 du lieu, s'il s'agit d'une infinité de droites formant une surface. 

 Mais, en général cela n'est plus le cas, si le lieu est un espace 

 courbe. Ce point s'éclaircira suffisamment par les exemples que 

 nous rencontrerons tout à l'heure. Qu'il suffise ici d'observer que 

 l'espace courbe qui est le lieu des droites satisfaisant à l'ensemble des 

 conditions 6-hi, que l'on déduit de l'équation h-h\ = 2B en omet- 

 tant une des conditions h,„ et de l'équation l/h,, = 3B en omet- 

 tant deux des conditions h, ne saurait être à la fois de l'ordre 

 deux et trois. 



Si le lieu des droites satisfaisant à. l'ensemble de conditions p 

 admet q dimensions comme lieu de points, nous le représentons 

 par le symbole (jö),^. Seulement pour ^ <C 4 ce lieu sera un lieu 

 proprement dit. Pour ^ = 4 il passe un nombre fini des droites 

 du lieu par un point quelconque, poui' ^ = 5 ou q = iS les droites 

 par un point cpielconque forment une surface ou un espace courbe. 

 Ici nous nous bornons aux cas ^ <; 4. 



a) ()%f = 2B. 



En omettant successivement une des conditions b, les deux con- 

 ditions b ou une des conditions b,„ nous formons les lieux {bb,'^) 9, 

 {b'i^s, (b'b,^^; nous les examinons l'un après l'autre. 



L'équation b'b^,, = 2B nous ap})rend que le lieu {bbif)., rencon- 

 tre un [)lan quelconque en deux points. Donc (tó,,"-)2 est une sur- 

 face du second ordre; d'après la première des deux remarques 

 précédentes elle doit se trouver en un E-^. Et, en effet, chaque 

 droite qui s'appuie sur les deux droites données B^, B.2 des deux 

 conditions b^„ se trouve dans l'espace B déterminé par ^^, ^,2; elle 

 s'appuie donc en môme temps sur l'intersection ^3 de cet espace 

 et du plan C de la condition b; de manière que le lieu {bbi^)^ en 

 I) est le système réglé {B^, B.,, B-^ dont B^, B.^, B-^ sont trois 

 directrices. 



Le lieu {b,f)-i forme dans l'espace 1) déterminé par les deux 

 droites B^, B.^ des deux conditions b,, la congruence la plus simple, 

 c'est-à-dire la congruence (1,1) aux axes By, Bo, et n'est donc plus 

 un lieu proprement dit. 



