A QUATKE DIMENSIONS. 13 



Enfin le lieu {frh,)-,, est en vérité un espace courbe du second 

 ordre. Car, si C,, C.,, B, A,, représentent respectivement les deux 

 plans des conditions b, la droite de la condition ^,, et un point 

 variable de cette droite, le plan d'intersection des espaces (//,. C\), 

 {A^. C'o) porte un faisceau de rayons au sommet A,,, dont tous les 

 éléments satisfont aux conditions posées ; ainsi le lieu de ces droites 

 est en môme temps le lieu du plan d'intersection des espaces cor- 

 respondants {A.J. 6',), {A,. C.,) de deux faisceaux d'espaces qui sont 

 en rapport ])rojectif l'un avec l'autre, joarce qu'ils sont en rapport 

 perspectif avec la ponctuelle (^J des points A^ de B. Cet espace 

 courbe {d''ô^% possède donc la propriété particulière de contenir une 

 infinité simple de plans. 



j0) ly% = 2B. 



On obtient les deux lieux (Jrb,)., et {hh,)-^ en omettant successi- 

 vement une ou deux des trois conditions h. 



Le lieu {Irb,).^ est le système réglé {B^, B.,, B.) aux directrices 

 B^, B2, B^, (}uand ici B^ est la droite de la condition bg, tandis 

 que B.2 et B-^ sont les intersections de l'espace J) de bg avec les 

 plans C des deux conditions b. 



Le lieu (bb,,)^^ est en IJ la congruence (1.1) aux axes B^, B.2 et 

 donc pas un lieu pro]n'ement dit. 



7) b%, = 2B. 



Ici nous avons à nous occuper des lieux (b^b,i).2, {b-b,,\, {b'%. 



Le liieu {b'^b,,).2 est le système réglé (B^, B.,, B^) en I), où B^, 

 B.2, Bj sont les droites d'intersection de l'espace I) de b,; avec les 

 plans C\, C.,, Cg des trois conditions b. 



Le lieu {b'b,^^ est en D la congruence (1,1) aux axes B^, Bo. 



Enfin le lieu (b'*)^ est un espace courbe du troisième ordre. Car, 

 si C\, C\, C3, Gp sont les plans des (piatre conditions b, un espace 

 quelconque I)^. mené par C,^ qui rencontre C\, C.,, Cj suivant les 

 droites B^, B^, B^ en contient une surface cubique, composée du 

 système réglé (.S.,, B.2, B-^ et du plan 64. En effet, m\ point (piel- 

 conque A _. de 64 détermine une droite unique faisant partie du 

 lieu {Irb,i\, l'intersection des trois espaces {A^C^, {A^C.^, {A^^.C^}; 

 donc 64 appartient une fois à l'intersection considérée. 



C'est à ce dernier lieu que s'applique la seconde des deux 

 remarques précédentes. L'équation //6,, = 2B fait voir qu'un 

 espace I) (pielconque contient deux des droites qui satisfont à l'en- 

 semble des conditions b'' ; cela est en règle, car les quatre droites 

 (rinterscction de D avec les ])lans 6',, C'.,, C's, C\ admettent deux 



