14 LES HYPËRaUADBlQUES DANS L'ESPACE 



transversales comiiiunes. Mais cela n'im})lique imllemeiit que le 

 lieu ((5^)3 lui-même doit être du second ordre. Car l'espace D en 

 contient, à côté de ces deux transversales qui s'y trouvent en 

 entier, une infinité double de points d'intersection avec les droites 

 satisfaisant à b'^, non situées en D. lîn espace (juelconque D coupe 

 le lieu (Zi*)3 suivant nne surface siuq)le dn troisiènu^ ordi'c qui con- 

 tient les deux transversales, voilà, tout. 



Il est intéressant à étudier la correspondance des points d'inter- 

 section A^, A2, Â-^, A,^ d'une même droite variable B^ du lieu {b'\ 

 avec les plans C^, 62, 63, 64. Les jjoints A^ et A.^ se correspon- 

 dent un à un ; donc la correspondance entre ces points est une 

 transformation de Cremona. Si B^ et B2 sont deux droites .quel- 

 conques, la première de 6'i et la seconde de C.^, on trouve que 

 deux des droites B^. qui s'appuient sur B^, rencontrent B^, eu égard 

 à l'équation h%!^ = 2B \ donc, si A^ décrit en 6' la droite B^, 

 A.^ parcourt en T'^ une conique, en d'autres termes: la transfor- 

 mation de Cremona est une transformation quadratique. jNous 

 chei'chons les trois points fondamentaux du plan (\ par rapport au 

 plan 6^. Évidenunent les points d'intei'section A^.^ et //^^ de C^ 

 avec C3 et 6', sont deux de ces points; car par cliacun de ces 

 points il passe une infinité de droites B^ situées dans un même 

 plan, celles par A^-^ dans le plan d'intersection des deux espaces 

 (^13 62), (.^13 Ci), celles par A\_,^ dans le ])lan d'intersection des 

 deux espaces (.7,,, Cy, (^,,, Cj)- l^t le troisième point fondamen- 

 tal est le point d'intersection A^-^,^ de (\ avec le plan G, 3 4 

 déterminé par les points d'intersection J3 4 , //^ ^ , ^.^ 3 des trois 

 plans C2, Ci, C4 pris deux à deux, chaque droite par ^234 ©ii 

 ^2,34 coupant à la fois la droite A.^^ ^2,3 <^^' ^'±^ l^' droite A-^j^A.^-^ 

 de C3 et la droite ^34 ..7.24 de 64. 



^) h'h,, = SB. 



Ici il s'agit des lieux {///ju)-i, ('^%),j, ((^'O.i 'l*Ji't nous n'avons à 

 étudier que le premier, le second figurant sous a) et le dernier 

 sous y). 



Si 6',, C2, 63 et B sont les plans des trois conditions b et la 

 droite de la condition (5^, il est évident (pie le lieu {H'^bij).^ est en 

 même temps le lieu de la droite d'intersection B_j. des espaces cor- 

 respondants {A,.Ci), (A^C.^), {A^^X'^ de trois faisceaux d'espaces 

 projectifs, où A,, est un point variable de B, ces faisceaux d'es- 

 paces étant en rap])ort projectif l'im avec l'auti'e, parce qu'ils sont 

 en rappoi't perspectif avec la ])onctuelle (^7,.) des points A^ de B; 



