A QUATRE DIMENSIONS. 15 



ce lieu est donc effectivement une surface cubique tordue. Car un 

 espace D coupe les trois faisceaux d'espaces projectifs suivant trois 

 faisceaux de plans projectifs, et ces trois faisceaux de plans engen- 

 drent une cul)i(|ue gauche. 



D'après l'équation b^,^ = 2B une droite t|uelcon(jue du plan 

 C^ rencontre deux droites 7i,. du lieu {è^^ùi,)o; donc chacun des 

 trois plans C\, C.^, 63 contient une conique faisant partie du lieu. 

 La conique en C', passe par les points d'intersection A^.,, ^1,3 de 

 ce plan avec 62 et 6y, etc. 



e) h^ = 5B. 



Ici l'on trouve {//\ et {b'')-^ dont seulement le premier lieu reste 

 à étudier. D'après l'équation b^' = 5B la surface {b'')2 est du 

 cinquième ordre, d'après l'équation b''b,, ~ 3B chacun des plans 

 des cinq conditions b la coupe suivant une cubique. La cubique 

 en C^ passe par les points d'intersection ^,,(« = 2,3,4,5) de ce 

 plan avec les quatre autres. 



Les cubi(pies que nous venons de trouver, sont-elles des courbes 

 rationnelles ou des courbes dont le genre est l'unité? Dans le 

 premier cas \\ faut que le lieu {h'% étudié sous y) admette un 

 plan double, afin que ce lieu soit coupé par un plan ([uelconque 

 65 suivant une cubi(|ue à point double. Mais il est évident que 

 le lieu {b'')i n'admet pas de plan doidile. Car la su})position qu'il 

 en tit autant, inq)liqnc ([ue chaque espace couperait ce lieu suivant 

 une siu'face cubique, tandis (pie nous avons déjà remarqué que 

 chaque espace I) mené par le plan C,^ en contient le plan d^ et 

 un système réglé tout à fait indépendant de ce plan. Donc les 

 cubiques dont il s'agit, sont des courbes du genre 1. 



Résumé. Les lieux nouveaux qui se sont présentés, sont {b'b,^-^, 

 {b'')-i, (<'/V;,,)./, (^''').2'', où les petites chiffres en haut indicpient l'ordre. 

 Nous y ajoutons tout de suite les envelop])es corrélatives {rc^)^, 



4. ('ombiiuiisoiis simples des éléments. 



Nous considérons maintenant quelques figures assez simples qu'on 

 obtient en combinant deux, trois ou (piati'e éléments différents 

 d'une telle manière (pie tous ces éléments se portent l'un l'autre. 



La tigure la plus simple de cette catégorie est composée d'une 



