A QUATRE DIMENSIONS. 35 



Chez les coniques il faut distinguer trois conditions simples; 

 nous les représentons ])ar a^_, h.^, c, la première étant en rapport 

 avec un espace donné D comme a, la seconde avec un plan donné 

 C connue b et la troisième ne différant guère de la condition 

 ordinaire c. Par a^ nous indicpions (|ue les deux points d'intersec- 

 tion de la conique avec un espace donné D coïncident, de manière 

 que cet espace est espace tangent de la conique, tandis (pie b.^ et c 

 expriment respectivement (jue le ])lan tlonné C contient un point 

 de la conique et la droite donnée B un point du plan de la 

 conique. Donc le suffixe 2 de n^ et b.^^ rappelle que le sujet de la 

 condition, ici la conique, est quadratique au lieu de linéaire. A 

 présent il s'agit donc des systèmes de coniques que nous désignons 

 par le syndîole {a.lb.^'c'')^^^, ou en forme plus condensée par .^{p, q, r)io. 



Un système sinq)lenient infini de coniques admet un nombre fini 

 de chacune des deux degenerations, la dégénération ^ de l'équation 

 ponctuelle dont les points forment deux droites /^, jS ([ui se coupent, 

 et les tangentes un faisceau de rayons conqjté deux fois (le faisceau 

 des droites par le point d'intersection a de b, j2 dans le })lan c par 

 b, /3), et la dégénération yj de l'équation tangcntielle dont les tan- 

 gentes forment deux faisceaux de rayons situés dans un même plan 

 c et les points une droite comptée deux fois (le rayon commun 

 des deux faisceaux qui en réunit les sonnnets a, a). Car chacune 

 de ces deux dégénérations est une figure à dix dimensions. 



Pour les dégénérations ^ et >^ rensend)le de conditions {a.{b.^'c'')^y) 

 se transforme respectiveii:cnt en {a'' b'''(2'''c'\^, et («'''âs'''/5V)io dont 

 nous avons évalué les nond)res en 5/3 et r)u. Cependant il y a 

 une différence à signaler entre les nond)res (p^tCj') et (p]jJ-i'^r) 

 déduits plus haut, et les noudîres {^pqr) et iyipqr) des dégénérations 

 ^ et jj comprises dans le système {''(J'bJ'e'')^) de coniques. S'il s'agit 

 des figures {ab(ic)^i^, {aabr)\i^ dégagées de toute coimexion avec un 

 système de conicpies dont elles peuvent faire partie, il va sans dire 

 que cluupu; figure satisfaisant à l'ensendile de conditions {a''b''c'')^Q 

 ne conq)te ([u'nne fois parmi les solutions du problème qu'on s'est 

 proposé à résoudre. Au contraire, s'il s'agit de figuics ^, >; faisant 

 partie d'un système sinqjlement infini de coniques, il faut qu'on 

 se place à deux points de vue différents, à mesure qu'on cherche 

 les nombres ^,,, ;j,, des coniques satisfaisant à un des ensembles 

 {^pqr), iyipqr), ou bien les nombres ^,,, vj,i des dégénératiotis ^, j; 

 satisfaisant à l'ensemble .jijjqr). En effet on a ^,. = 2''^,; et >;,. = %''vj,,. 

 Car chacpie solution B,,, du second cas re})résente 2'' coniques coïn- 

 cidées satisfaisant à {^pqr), parce que chacun des /; espaces donnés 

 figure pour deux espaces tangents coïncides, de manière «pie la 



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