A QT^ATRE DIMENSIONS. 87 



C| donné et récipro(|iiement h.^ plans C^ correspondant à un plan 

 60 donné, h.,_ l'epréscntant le nombre des coni(pies du système dont 

 un plan donné contient un point. D'après le principe de corres- 

 pondance de Chasles le uond)re des coïncidences de cette corres- 

 pondance est donc 2b.^. Mais d'un autre côté, en })arcourant la 

 courbe gauclie de Tordre h.^^ qui forme l'intersection de I) avec le 

 lieu des coniques du système, on y trouve trois catégories de points 

 qui caractérisent une coïneulence, d'abord les vi |)oints d'intersection 

 de D avec les dégénérations »j du système, ensuite les «2 points de 

 contact de U avec des conicjues du système, et enfin les 2c points 

 d'intersection de Ö avec les c coniques du système dont les })lans 

 s'apj)uient siu' l'axe B du faisceau de plans. Donc on trouve 

 2 b.-2_^ Vi-\- (h_^ 2 c. 



Considérons ensuite le faisceau d'espaces dont un plan donné C 

 est le plan de base, et faisons correspondre l'un à l'autre deux 

 espaces D^, D,, de ce faisceau ([ui touchent une même conique du 

 système donné. Dans cette correspondance on trouve a.i espaces D.^ 

 corres])ondant à un es})ace i>, donné et réci})roquement ; donc le 

 piincipe de correspondance exige qu'il y ait un nombre 2 a.2^ de 

 coïncidences. Et il est évident que ces coïncidences dérivent des 

 dégénérations ^ du système et des h.^ coiricpies dont un })oint se 

 trouve dans le plan de base (\ Donc on a 2 a.^^ î, -\- b.,_ ^). 



Les relations que nous venons de trouver, nous domient les for- 

 mules de l'écurrence 



5 «^ = ^ ^ + Yi ^ 2 c, 

 Sh.,=^ ^ + 2vi + 4c. 



Va\ les nuiltipliaiit par (ij'/).^'c''~\ où j) -\- q -]- r ^ \\, on obtient 

 des é([uations (pii ex])rinient les nond)res (-'/./' '"^(^/e'' ~'), (r//^./ ^V''~^) 

 en {'iJ'b.^d') et les quantités coinuies (^ a''<^''c''~\ ;j «"«^V'"^ Donc elles 

 nous ])ermettent de trouver tous les nombres {n./b.^'c''), où l'on a 

 p + q + r— 11. Ainsi l'on a pour {a.^ô.^'c') : 



3 (a^b^c') = 2 (^ 244) + (»j 244) + 2 (a.^b.^) =792 + 192 + 2 ia.,%'c% 

 3 C^/^-iV') = 2 (U45) + (îî 145) + 2 («.AV) = 340 + + 2 ia.A^c% 

 3(r<.AV) =2(^046) + (>î04G) + 2 (^/,V) =30+0+ 0, 



d'où l'on dérive "') 



') Ici le lieu des points de contact des couii^ues du système donné avec les espaces du 

 faisceau est une courbe tordue de l'ordre a^ + b^-^ car un espace D (quelconque par le 

 plan de base C en contient a. points en dehors de C et h^ points en C. 



") On peut aussi terminer par (ö2''2''''°), tous les nombres (aiPh/lc^), où p + </ = 5, 

 étant connus. 



