A QUATRE DIMENSIONS, 39 



8. Les nombres des dégéüérations (p, ■^x *•'"" système simplement 



infini de qnadriques. 



Dans l'espace j^\ la quadrique est une Hgure à treize dimen- 

 sions. Car l'espace ï) de la quadrique peut satisfaire à quatre 

 conditions sim})les, et dans son espace I) la (juadrique elle-même 

 se détermine par neuf conditions simples. On obtient donc un 

 système simplement inlini en im])üsant à la quadrique un ensendile 

 de conditions équivalant à douze conditions simples. 



Chez les quadricpies nous distinguons quatre conditions simples 

 a^, h^, c,, (1. Par a^ et b,^ nous indiquons respectivement qu'un 

 espace donné et un plan donné sont espace tangent et plan tan- 

 gent de la quadrique, ce qui inq)]ique que la quadrique est coupée 

 par l'espace doinié suivant une coni(|ue dégénérée en deux droites 

 et [)ar le plan donn'- en deux points infiniments voisins l'un de 

 l'autre. Et c^ et d expriment respectivement qu'une droite donné 

 contient un })oint de la quadrique et (pi'un point donné appartient 

 à l'esjjacc de la quadrique. Nous nous occupons donc du système 

 de qnadriques représenté par le syndîole {(i-l'b.i'c[iP)y, ou en forme 

 accourcie par .,{p, q, r, s). 



Un système sinq)lemeni infini de quadricpies admet un nombre 

 fini de chacune des trois dégénérations 0, ^, ^ déterminées par 

 donze conditions sinqjles dont la ])i'emière admet un point double, 

 la seconde une droite doulile et la troisième un })lan double ^). 

 La dégénération est un cône cpiadratique; ce cône est déterminé, 

 si l'on connaît le sommet, trois autres points de l'espace du cône 

 et cin(j génératrices, ce qui démontre (pi'il admet 4 + 3 + 5 = 12 

 dimensions. La dégénération 4^ se compose d'une droite double 

 portant à la fois deux plans et deux points; donc elle est déter- 

 minée [)ar + 2.2 + 2.1 = 12 conditions sinq)lcs. La dégénération 

 X consiste d'une (piadrique iniiniment aplatie réduite à un plan 

 double situé dans un espace déterminé et portant une conique; 

 donc X ^sf déterminée par G + l + 5 = 12 conditions simples. Nous 

 cherchons successivement les nombres des dégénérations C^, 4^, x ("(^ni- 

 pris en .^p, q, r, s)^.,. 



u) . . . . Nombres {(Ppqrs)^^. 



Pour évaluer le nombre des cônes {'Ppqrs)^^ nous répétons pour 



\) Dans son „Kalkiil der abziihl enden Geometrie" ScuuBr.UT indique les surfaces à 

 point, à droite et à plan double par X) "P^ 'P en ordre renversé. 



