40 LES HYPERQUADEIQUES DANS T/ESPACE 



les cônes les raisoiniemeiits des uuinéros (j) et 7) par rapport aux 

 coin(|iies. 



Un système simplement iutiiii de cônes représenté par {'^pfjrs)^^ 

 admet un nombre fini de chacune des deux dégénérations, la dégé- 

 nération ,v = {a''//' c'''^ ''■'(/■") n et la dégénération / = (^''/^''-^''^cV). Tan- 

 dis que le cône {<Ppqrs)^o, est sa ])ropre figure corrélative, ces deux 

 dégénérations ,r et 1/ dont la seconde a été étudiée en StJ, sont 

 les figures corrélatives l'une de l'autre. Donc les nombres des dégé- 

 nérations a? et _y sont connus. 



Pour le système sim])lement infini {'^ p q >' s)^^ on a les deux 

 relations générales : 



2c.2, = ^1/ + ho ^- 2d , 

 Bbo = X + C2 + 2a. 



Pour démontrer la ])remière nous considérons un faisceau de 

 rayons dont un point donné A et un plan C passant ])ar ce point 

 sont le sommet et le support, et nous faisons correspondre l'un à 

 l'autre deux rayons de ce faisceau qui passent ])ar les deux points 

 d'intersection du ])lan C avec un même cône du système. Ainsi 

 nous faisons naître entre les rayons de ce faisceau une correspon- 

 dance (C2, Co) qui admet donc "le, coïncidences. iMais d'un autre 

 côté, en parcourant la courbe de l'ordre c,^ en 6', cpii est le lieu 

 des points d'intersection de C avec les cônes cp du système consi- 

 déré, on trouve trois groupes de; points cpii cai'actérisent une coïn- 

 cidence, d'abord les// ])oints d'intersection avec des droites doubles 

 de dégénérations //, ensuite les //, point.^ de contact de c avec des 

 cônes (p du système et enfin les d couples de points d'intersection 

 de C avec des cônes <p dont l'espace passe par J, couples de points 

 en ligne droite avec J. Donc on trouve 2co^= // -^ bo-\- 2d. Et la 

 seconde relation se déduit de la première à l'aide des raisonnements 

 corrélatifs. 



Des deux relations (pie nous venons de prouver, on déduit 



3b., = 2x -^ y \ 4a -\- 2d, 

 3c^ = X + 2j/ + 2a + 4d. 



En nuiltipliant ces équations par a''b.l'c.{d'', o\v 2J + q + r + ^=\\, 

 on voit qu'elles font connaître les deux nombres ^ip, q + 1, f', s), 

 2{p, q, r + 1, s), aussitôt (pie les deux autres 2(p + 1, q> ^', s), 

 4\P, q,''^, s -\- 1) sont connus. En remarquant : 



1° que les nombres ^ipq^^) disparaissent pour jö > 4 ou 6- > 4, 



