44 LES HYPERQUADRIQUES DANS L'ESPACE 



7). . . . Nombres {xpqrs)^.^. 



Les nombres {')(,P!I^'s)i2 se déduisent des nombres iipqr) de 7) à 

 l'aide des formules générales 



(Z^^2'Vt'''^0i2 = (^^2'V^'")ii. p ^ q \ r ^11, 



{Xa.i'b.,^c'-d-\., = KY^./c'' + ')h, p^-q + r=10, 



{X^i.I'h.{>c^d\, = (r//^/e'c,.)H, p + q + r= 9, 



(Z''>Vc-"(^')v2 = i^'-rb-I'Cc,,),,, p + q + >■= 8. 



Ainsi dans les cas 6- = 1 et -s = 2 les nombres ixpq'''^) ont été 

 ti'ouvés. Et en vei'tu des relations 



5c\^ 3(f, 5àc^= 8é\ 

 5c\i = (f', oc\ = c^ 



dont nous nous sonnnes déjà servis en Sy et en 5^, les cas 



(^=3, r=3), {6-=^S, r=^4), (é- = 4, r = 2), (^^ = 4, r = 3) 



se ramènent aussi à des nonü)res ^{pqr). Parce (|u' évidemment 

 les nondjres {Xpq>'^) dis])araissent dans les deux couples de suppo- 

 sitions 



(*• = 3, r > 4), (*■ = 4, r > 3), 



il nous reste à étudier les cinq cas 



(6-=3,r<3), (6- = 4, 'r<2). 



Nous avons donc à chercher les nombres de coniques 



(a/^/c,)!,, p + q = 9, 



{aiVccX, «^V'On, . .. .p + q = 8, 

 (r//^,''rc,)ii, i^h'Vcc.ùn, . . .p + q = 7. 



Si les nombres des dégénérations ^, >; des systèmes simplement 

 infinis 



{a./ô.,"cX> p + q = 8, 



(«./'^«•Jio, («A%)io> p + q^7, 



(ö!/^./c-e,),o, {a:/%''cc')io, ... .p + q^6 



ont été trouvés, les relations récurrentes 



