A QUATRE DIMENSIONS. 55 



espace doubles. La dégénération k est un hypercùne quadiique; 

 cet liypcrconc est déterminé, si l'on connaît le sonnnet et neuf 

 points, ce qui fait voir qu'il admet 4 + 9 = 13 dimensions. La 

 dégénération A se compose des droites qui s'appuient sur une droite 

 et une conique données, la droite croisant le ])lan de la conicpie. 

 Elle a pour espaces tangents les espaces qui contiennent un de deux 

 points déterminés de la droite donnée qui en forme la droite double; 

 de manière qu'elle est déterminée, si l'on connaît la droite double, 

 cin(| points et les deux points singuliers sur la droite double, ce 

 qiù démontre (ju'elle est une iigure de + 5 + 2 = 13 dimensions. 

 La dégénération //. est en U,^ la figure corrélative de À; ses points 

 sont distribués en deux espaces qui se coupent suivant un plan 

 portant une conique touchée ])ar tous ses espaces tangents. Et la 

 dégénération v est de la même manièi'e la figure corrélative de k 

 et donc une quadrique dont l'espace support forme l'espace double 

 de la degeneration. 



A cause de la corrélation les nombres (;c^;^ró')i3 et {^]>qr-'!i)y. sont 

 respectivement égaux à {vsrqp)f._i et {iJ^srqp)^^. Cette l'cmarcjue facilite 

 la détermination des nombres des dégénérations. 



a). . . . Les nond)res y. et v. 



Les nombres {vpqrs)^,^ ont été doiuiés dans le tableau précédent. 

 /3) . . . . Les nombres A et /x. 



Les nondires (f^pqrs)^,^ ne different de zéro que pour 1 < 0' < 9. 

 Et les nombres (/-^/^y/'iOui qui ne disparaissent j)as, se déduisent 

 des nond)res {Xpq''^)\-i <!« ^7 «t des nond)res de coniques ■ipqr)^^ 

 de 7). 



Si nous désignons le nombre (/-t^/./Z^'^'./r/'cJ')!.-!, où </ et J repré- 

 sentent les deux espaces de la dégénération //., par {i-t^pqrst) et (|ue 

 nous supprimons les indices 2 et 11 de ■j:{pqr)\\, nous trouvons 



{ixpqr2) = {iJ^pqrl ^ ) = ( /jqr) , 



{lj.j)qrS)= S{iMpqr21)= 3{xpqr2) = S{qj,q,r+1), 



{lJ.pqr4)= 4{iJ.pqr31)+ S{fMpqr22)^ 4{xpqr3) + H{p,q,r ^- 2) , 



{H^qr-j) = .5{jJ.jjqr41) + l(){iJ^jqrS2) = 5{xpqr4) + 10{p, q, r + l)c, , 



{iMpqrÔ) = lo{iJ,pqr42) + 10{i^pqrS3) = lo{p, q, r + l)Ca + 10{pqr)c^ , 



{(xpqrl) = 3o{fxpqr43) = 35{ pq>%Ca > 



il^pqrS) = 3ö{/^pqr44) = 35{pqr)c,f. 



