58 LES HYPEKaUADKlQUES DANS L'ESPACE 



11. Les uombres des hyperquadriques {a{/j.^'c.[dl)^i^. 



Pour un système sinipleuient iiilini d'hvperquadriques en El^ on 

 a les quatre relations 



2d., = V ^- Co, 

 2c2 = />«. + <^2 + (^^J 

 2b.2^ = / + «2 + 0-2, 

 2a,_ = X + h,. 



Parce qu'en E,^ l'iiyperqaadrique est sa propre figure corrélative, 

 il faut que cet ensemble de relations se comporte de la même manière. 

 En effet la première et la seconde de ces équations ont respective- 

 ment pour corrélative la quatrième et la troisième. Il s'en suit 

 que l'ensemble de ces quatre relations est démontré, aussitôt qu'on 

 ait prouvé le premier couple de ces équations. 



Sur une droite quelconque donnée B nous faisons correspondre 

 l'un à l'autre deux points d'intersection avec une môme hyper- 

 quadrique du système. Evidemment les 2 d^ ])oints de coïncidence 

 de la correspondance (c/^, d.^, engendrée de cette manière, se retrou- 

 vent dans les v intersections de E avec les dégénérations v à espace 

 double, et dans les c.,_ points de contact de B avec des hyperqua- 

 driques du système. Donc 2 d = y -\- Co- 



Le point A et le ])lan C par A étant le sommet et le support 

 d'un faisceau donné de rayons, faisons correspondre l'un à l'autre 

 deux rayons de ce faisceau qui touchent nue môme liypercpiadrique 

 du système. Ainsi nous faisons naître entre les rayons du faisceau 

 une correspondance (c^, c.,) dont on retrouve facilement les 2 c.^ rayons 

 de coïncidence à l'aide de la courbe de l'ordre c^ + d^^ qui forme 

 en C le lieu des points de contact des liyperquadricpies du système 

 avec les rayons du faisceau. Sur cette courbe il y a trois grou- 

 pes de points caractérisant une coïncidence : les /x points d'inter- 

 section de C avec les plans doubles des dégénérations ^, les by. 

 points de contact de C avec des hyperquadriques du système et le 

 point A compté d, fois. Donc 2 c = jx -^ b.) + d.^. 



Les relations que nous venons de démontrer, nous donnent 



5 «2 = ^ >i + '5 / + 5 //- + V, 



5 h.y = S y. + 6 x + 4 iJL + 2v, 

 5 c.^=2 K + 4X + 6 IX + Sv, 

 o d.y= y. -\- 2 X -\- 3 jJi. + 4 y. 



En les multi])liant par a libo'cô'd', oi^i ^; + ^ + r + * = 13, on voit 

 qu'elles expiiment {a./ + ^.^'c/d/), {a.rb.;' + \:{di), {a/b.^'c.{ +'^d./), 

 {a^b.^c.{d.^^'^) dans les quantités connues /,, /, a, v. Chacune de ces 



