30 JOHN NAPIER'S WERKEN. 



Men kan de gevonden formule ook aldus bewijzen : Laat het 

 punt [) in / sec. een afstand van l0 7 /# lengte-eenheden doorloopen 

 en de snelheid van het punt P na verloop van 0, t, 2f, Si,. . . 

 sec. evenredig zijn niet den afstand PB, maar gedurende elk 

 tijdsverloop van / sec. onveranderd blijven. Omdat de beginsnelheid 

 van de punten ;; en P dezelfde is, legt het pnnt P in de eerste 

 /sec 1 O 7 /» lengte-eenheden af, evenals het punt p. Na verloop van t 

 sec. bevindt zich het pnnt P dus op een afstand P 1 B = lü 7 — 10 7 /« 

 d. i. lü 7 (l - - \ju) lengte-eenheden van B. Zijn afstand tot B is 

 dus (1 — l//v)-maal zoo groot geworden; zijn snelheid zal dus even- 

 eens (1 — l/«)-maal zoo groot moeten worden: in de tweede /sec. 

 legt P dus (1 — l/rc).l0 7 /« d. i. 10 7 (1 — 1/»)/» lengte-eenheden 



dant que PB, PC, PD, PE, croîtront géométriquement, .VB', A'C', A'It', .l'A", etc. 

 croîtront arithmetic uement : c'est pourquoi ces dernières seront les logarithmes des 

 premières respectivement. Enfin le logarithme d'une quantité quelconque PS, sera la 

 ligne A'S' parcourue, d'un mouvement uniforme, depuis le terme A', tandis que AS l'a 



été d'un mouvement accéléré 



Après s'être formé cette idée des logarithmes, et en avoir démontré les principales 

 propriétés, il restoit à Neper à trouver ces nombres, et cela n'étoit pas le moins difficile. 

 Il y parvint par un moyen dont il convient de donner une esquisse, et dont voici l'es- 

 prit. Supposons qu' entre PB et PA, on ait pris une si grande quantité de moyennes 

 proportionnelles, que la première qui excède l'A, ne l'excède que d'une quantité Aa, comme 



infiniment petite: par exemple, — m| de l'unité, ou en fractions décimales, 0,0000001. 



Il en résultera que l'on pourra, regarder .1" comme parcouru d'un mouvement uniforme ; 

 et si l'on prend sur la ligne parcourue d'un mouvement uniforme la particule A'a' 

 égale à Aa, il y en aura autant dans A' l>' qu' il y a entre PA et PB de moyennes 

 proportionnelles. Supposant donc PA — 1, et PB zr 2, Neper trouvoit que pour que 

 Aa n'exédât pas 0,0000001 ou une cent millionnième, il falloit intercaler entre 1 et 2, 

 693] 172 moyennes proportionnelles, ce qui se trouve par une extraction successive de 

 racines carrées entre 1 et 2; c'est-à-dire, d'abord la racine carrée de 2, ou la moyenne 

 proportionnelle entre 1 et 2, ensuite la racine de cette racine, ou la moyenne entre 1 

 et la première moyenne déjà trouvée, et ainsi successivement. 



Il trouvoit, par un semblable procédé, qu' entre 1 et 10, il y avoit 23025850 de ces 

 moyennes proportionnelles; il ne restoit donc qu' à multiplier Aa ou A'a' =z 0,0000001 

 par 6931472, et le produit devoit donner .(/; pour le logarithme de 2. Le produit est 

 0,6931472; ainsi c'est là Le logarithme de 2; et si l'on multiplie la même fraction 

 0,01)0001)1 par 23025S50, le produit, qui est 2,3025850, donne le logarithme de 10." 



De punten passeeren gelijktijdig .1 en /t' met de snelheid V en bevinden zich na 

 verloop van t sec. in S en S'. Stelt nun /\l — t en PS ~ a, dan is A'S' ~ Vl en 

 de snelheid in S = Vu, dus 



17 =z Nap log " en Au/dl =z Vu , 



i 't l'a '' 



dus: / V it — / " d«/« en 17 zz log u , 



e 

 dus: Nap log a log a. 



Volgens Montuchi zouden de logarithmen van den Canon Mirificus dus natuurlijke 

 logarithmen «rezen en berekend zijn naar een methode, die, zooals later blijken /al, met 

 Napier's handelwijze al zeei' weinig gelijkenis vertoont. 



