46 JOHN NAPIER'S WERKEN. 



in ieder van de vier mogelijke gevallen de oplossing teruggebracht 

 tot die van twee rechthoekige driehoeken, door uit een hoekpunt 

 de loodlijn neer te laten op de overstaande zijde, alsmede tot die 

 van twee rechtzijdige driehoeken, door uit een hoekpunt als middel- 

 punt met een straal van 90° een cirkelboog te beschrijven, die de 

 overstaande zijde ontmoet. 



Om de hoeken uit de zijden te berekenen, bedient Napier zich 

 van een der stellingen : 



1) sin |- A = V {sin (s — b) sin (s — c) j sin b sin c) ; 



2) cos £- A = V { sin s sin (s — a) / sin b sin c] ; 



3) tang - 1 , a ■. tang -| (b-{^c) = tang ^ (b — c) : tang -|- (b' + c), 



waar b' en c' de projecties van b en c op a aanduiden. 



Voor de eerste stelling verwijst Napier naar Rcgïomontanus' De 

 Triangulis Planis et Sphaericis Libri Quinque, una cum Tabulis 

 Sinuuni, BasileaB [1561], p. 119, waar men ze (natuurlijk in 

 woorden) aldus vindt uitgedrukt : 



sin vers A = fsin vers a — sin vers (b — e)} / sin b sin c. 



Om de stelling te bewijzen, redeneert Regiomontanus aldus : Zij 

 A abc (Fig. 7 a ) een boldriehoek, a de pool van den grooten cirkel 

 df en van den kleinen cirkel lm, die door c gaat, b die van den 

 grooten cirkel gh en van den kleinen cirkel op, die eveneens door' 

 c gaat, enz. Laat Fig. 7 b de projectie van Fig. 7 a voorstellen op 

 het vlak van den grooten cirkel ab, dan is: 



av ■= sin ab ; 

 ky = sin a/c 



= sin ac ; 

 bq = sin vers bh 



= sin vers (a/r — ab) 



= sin vers (ac—ab) ; 

 Ijr = sin vers bo 



= sin vers bc ; 

 kt = qr 



= br— bq 



= sin vers bc sin vers (ac — ab) ; 

 dz = sin vers dL daar z de projectie van / is. 



= sin vers / bac. 



Nu volgt uil a ki8<vAavw. 





ks : k/ = ar : 



ar. 



Ook is: dz : ks - dx 



: ky. 



