48 JOHN NAPIER'S WERKEN. 



Op deu bol AFP G (Fig. 8) zijn twee groote cirkels, A^P en 

 A/P, getrokken, die elkander in de tegenpunten A en P snijden. 

 Uit een punt a van een dier cirkels als middelpunt is een kleine 

 cirkel beschreven, die A^P in j3 en y en A?.P in à en s snijdt. 

 Vereenigt men ?. met /3 en y, dan ontstaan er twee boldriehoeken, Afix 

 en Ayk, met a als top, Afi en Ay als bases, Ax en /3a = yA als 

 opstaande zijden en JÙ als verschil en As als som dier opstaande 

 zijden. Trekt men de hoogtelijn A/ca, dan zijn A&, (3{t en 7^ de 

 projecties van de opstaande zijden dier driehoeken op de bases. De 

 rechte lijnen, die men uit P door (3, y, à en s kan trekken, ont- 

 moeten het vlak HIKQ, dat den bol in A raakt, in b, c, d en e, 

 van welke punten zoowel b en c als cl en e met ^4 in één rechte 

 lijn liggen. Omdat AP loodrecht op het vlak HIKQ staat, zijn 

 Ab, Ac, Ad en Ae evenredig met de tangenten van /_ APb = 

 1 bg Afr Z APe = 1 bg Ay, Z APd = J bg Jà en Z ^Pe = 

 -|- bg ^6. Nu liggen b, c, d en e op den omtrek van den cirkel, die 

 de stereographische projectie vormt van cirkel fiyls uit P als 

 centrum op HIKQ als projectievlak : 



„Omnis enim circuli in superficie Sphserae descripti", zegt Napier 

 op p. 51, „umbra à lucido in eadem superficie, quod non est in 

 circuli peiïpheria procedens circulum facit perfecte rotundum in 

 piano orthogono ad rectam, qua; à lucido per centrum Sphœrae 

 progreditur, ut ex Opticis, & astrolabii x ) fabrica patet." 



Omdat b, c, d en e op den omtrek van een cirkel liggen, heeft 

 uien Ab . Ac = Ad . Ae, dus tang -^ Afi . tang ■£■ Ay = 

 tang £ A$ . tang - 1 - As. enz. 2 ). 



Om de zijden uit de hoeken te berekenen, bedient Napier zich 

 van de stelling, dat men van een boldriehoek de zijden in hoeken 

 en de hoeken in zijden mag veranderen, mits een der zijden en 

 de overstaande hoek door hun supplementen vervangen worden, 

 zooals kan blijken uit Fig. 9, die aan Pitiscus' Trigonometria, 



') Wolf', Handbuch der Astronomie, ihrer Geschichte und Litteratur , 3*cr Halbband, 

 Zurich 1892, p. 70. 



') Eenvoudiger kan men de stelling aldus bewijzen: Trekt men in A ABC de hoog- 

 telijn CD op AB, dan is: 



cos AC rr cos CD cos AD en cos BC = cos CD cos BI), 

 dus : cos AC : cos BC = cos AD : cos BI), 



(cos AC cv cos BC) : (cos A C + cos BC) = (cos AD cv cos BD) : (cos A D + cos BD), 

 tang } (AC + BC) . tang J- {AC cv BC) = lang } (AD + BD) . tang \ (A D cv BD). 

 Hieruit volgt, als /> tusschen A en // valt en dus AD + lil)— All is: 



tang \ .1 11 : tang \(AC + BC) = tang \ (AC cv BC) : tang \ {AD cv BD), 

 en als /> niet tusschen A en B valt en dus AD cv lll)—AB is: 



tang i- ,1 B : tang -J- (4C + BC) = tang | (,1C cv BC) : tang »- (,1 1) + Hl)). 



