76 JOHN NAPIER'S WERKEN. 



1) De logarithme van een sinus is grooter dan het verschil tus- 

 schen den straal en dien sinus, en kleiner dan dat tusschen den 

 straal en een lijn, die zich tot den straal verhoudt als deze staat 

 tot dien sinus. 



2) Het verschil der logarithmen van twee sinussen ligt tusschen 

 twee grenzen, waarvan de grootste tot den straal staat als het ver- 

 schil dier sinussen tot den kleinsten, en de kleinste zich tot den 

 straal verhoudt als het verschil dier sinussen tot den grootsten. 



Napier stelt den straal = 10 7 . Uuidt men den sinus, onder 1) 

 bedoeld, met u aan, dan vindt men voor de lijn, die tot den straal 

 staat als de straal tot dien sinus, m. a. w. voor de derde even- 

 redige tot dien sinus en den straal, 10 14 / u. Nu is u < 10 7 , dus 

 10 14 / u > 10 7 . Men moet dus aantoonen: 



10 7 - - u < Nap log u < 10 14 / ti - - 10 7 = lü 7 (10 7 --«) / a. 



En duidt men de sinussen, onder 2) bedoeld, met £7 en u <[ U 

 aan , dan vindt men voor de grootste der genoemde grenzen 



lü 7 (U — u) J u en voor de kleinste 10 7 (U — u) / U. Nu is u < U, 

 dus Nap log u > Nap log 17. Men moet dus aantoonen : 



10 7 (ü - - u) I U < Nap log il - - Nap log TI < 10 7 (17 - - u) / u. 



Napier's bewijzen luiden naar hun wezenlijken inhoud aldus: 

 De punten p en P (p. 27) bezitten in a en A even groote snel- 

 heden; de snelheid van ;; verandert niet, maar die van P neemt 

 met den afstand van P tot B en in dezelfde mate af. Van het 

 oogenblik afgerekend, waarop p en P zich in a en A bevinden, legt 

 p dus in zeker tijdsverloop een grooter weg af dan P, m. a. w. : 



ap > AP = AB — PB, 

 dus: Nap log PB > AB — PB 



of: Nap log u ^> 10 7 — a. 



Eu deze formule geldt zoowel vóór- als nadat p en P de punten 

 a en A gepasseerd zijn, m. a. w. zoowel voor u 7> K' 7 > a ' s voor 

 ti < lü 7 , mits men, als u >• 10 7 is, Nap log u als negatief in 

 rekening brenge. 



Is u < lü 7 en //' > 1() 7 de derde evenredige tot u en 10 7 , dus : 



U : 10 7 = 1Ü 7 : lt', 

 dan is: 



(10' u) : U = (d - LO 7 ) : K) 7 , 



dus: u - K) 7 ^ LO 7 (LO 7 - n) J a, 



en: Nap log u - - Nap log 1 O 7 = Nap log I O 7 Nap log ti\ 



dus, daai' Nap log 10 7 = is : 



