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THKÜIilK GENERALE DE l/KLIM IN ATLON. 



Un système de racines des équations (S) doit aussi satisfaire aux 

 équations (11). 



11 est impossible de satisfaire aux équations (11) par des valeurs 



de a? l5 x. 2 , x-A, œ n qui ne sont pas toutes nulles, si l'on n'a 



pas B = 0. 



Cette équation exprime la condition pour qu'on puisse satis- 

 faire aux équations (8). 



Elle exprime aussi la condition pour qu'on puisse satisfaire aux 

 équations (9), ce qu'on peut trouver d'une manière analogue. 



Les considérations précédentes mènent aux deux théorèmes suivants, 

 dont les réciproques sont aussi vraies : 



Si le déterminant des coefficients n'est pas nul, il n'existe aucun 

 système de racines pour le système de n équations linéaires ho- 

 mogènes à n variables, et ces équations sont indépendantes entre 

 elles. 



Au contraire, si le déterminant des coefficients est nul, il existe 

 un système de racines pour le système de n équations linéaires 

 homogènes à n variables, et ces équations sont liées entre elles par 

 une relation linéaire. 



§ 11. Si le déterminant (7) est nul, tandis que les déterminants 

 mineurs du premier ordre de ce déterminant ne sont pas tous nuls, 

 on peut évaluer le système de racines des équations (8). 



Pour cela, supprimons l'une quelconque des équations (8), par 

 exemple la h "'"'°, et multiplions les autres successivement par les 

 déterminants mineurs des éléments d'une colonne quelconque, par 

 exemple, de la j "'""' du déterminant 



'21 



«■31 



«12 



■•13 



'23 



a- 



33 



"l,-\,\ a k—i,2 a k-i,3 

 ' a k-\i,i *fc+l,2 ö k ^ t,3 ' 



l iil 



<>»■< 



«1,1-1 



«2, /— 1 

 «3,/-l 



'/.'- \J-\ 



'-I 



4,1+1 



a,, 



a 



2, l+i 



3, i+i 



'/,■-!, 1 + 1 



a k M. î-1 a k + I, î+1 



l I I 



'lu 



'■2n 



'Ml 



II 



l l,-\,n 

 k+i, n 



(12), 



qui est Le déterminant mineur de L'élément a k{ du déterminant (7). 



En ajoutant ces produits, on trouve L'équation 



