THÉORIE GENERALE DE L'ELIMINATION. ]5 



Comme on peut choisir arbitrairement les n — m = 3 colonnes 

 d'éléments de l'assemblant qui doivent être éliminés entre les équa- 

 tions (26) et (28) pour trouver les équations (35), le déterminant 

 des coefficients des équations (35) est un quelconque des détermi- 

 nants de l'assemblant (29). D'après la, supposition, ces déterminants 

 ne sont pas tous nuls; ainsi, on ne peut satisfaire en général aux 

 équations (35) qu'en prenant des zéros pour tous les variables. 

 Les déterminants de l'assemblant (36) sont donc tous nuls, d'où 

 l'on conclut (pie les systèmes de racines (27) et (3.2) sont liés entre 

 eux par une relation linéaire. 



De ce qui précède on obtient les deux théorèmes suivants: 



Si m<Cn, il existe n — tu, mais pas plus de n — m systèmes de 

 racines, indépendants entre eux, qui satisfont à un système de m 

 équations linéaires homogènes , indépendantes entre elles à n 

 variables. 



S'il existe plus de n — m systèmes de racines, indépendants 

 entre eux, qui satisfont à un système de m équations linéaires 

 homogènes à n variables, en supposant m<C.n, les équations de 

 ce système ne peuvent être indépendantes entre elles. 



§ 22. Examinons de plus près les deux assemblants qui décou- 

 lent d'un système d'équations linéaires homogènes, indépendantes 

 entre elles. Le premier, qui contient m lignes de n éléments, se 

 forme par les coefficients de ces équations, le second par les n — m 

 systèmes de racines, indépendants entre eux, qui satisfont à ces 

 équations. 



Il existe entre ces deux assemblants une relation de réciprocité. 



En effet, on peut regarder l'assemblant (27) comme rassemblant 

 des coefficients des équations linéaires homogènes 



"l -'ï i + H •'■] ï + "S *13 + H •''! I + ":, *iS + H ■''!«! + "1 *17 = °> j 



«1 ■''■n + <h «22 + «3 ■'■■2A + «1 -'-il + «6 «25 + "(i ^26 + «1 X *l = °> (37), 



"l H\ + "i X M + H '<3S + "i •«» t + <h «36 + "o W S6 + «1 X M = °' ' 



dans lesquelles a { , a 9 , a 3 , . . .a 7 sont les variables, et l'assemblant 

 (29) comme l'assemblant des systèmes de racines, indépendants entre 

 eux, des équations (37). 



En substituant ces racines dans les équations (37), on retrouve 

 les équations »(28). 



Les deux assemblants qui se rapportent à un système d'équa- 

 tions linéaires homogènes, indépendantes entre ('lies, ont encore la 

 propriété que ni l'un ni l'autre ne peuvent contenir une colonne 

 d'éléments qui soient tous nuls. 



