THÉOEIE GÉNÉBALE DE L'KI.I M [NATION. 2 i 



('online le plus grand nombre pour cela est en même temps 



H — m, on obtient l'équation 



m 



n i ~}~ ".', — «4 = (53). 



Si la condition (53) est remplie, on peut conclure que les ,/, systèmes 

 de racines avec leurs relations de dépendance représentent précisément 

 tous les n — m systèmes de racines indépendants entre eux, qui sont 

 possibles. 



§ 30. Reste encore à résoudre la question comment on peut 

 déterminer pour les équations ô // — m systèmes de racines, indé- 

 pendants entre eux. 



Ihi tel système de racines peut renfermer en général (§ 16 et % 1?) 



n. --m — l zéros. Cette remarque conduit à la solution de la 

 question. 



Prenant des zéros pour u --m- I des variables, les équations 

 ô se changent en un système de m équations linéaires homogènes a 

 m - - 1 variables, d'où l'on peut évaluer les autres termes du système 

 cherché. Ce système de racines se compose de m -\- 1 déterminants 

 de rassemblant (1) et de n — m — 1 zéros. 



De cette manière on peut obtenir en tout {„,'[. i) systèmes de 

 racines des équations û. Comme ce nombre, étant le nombre des 

 combinaisons, m - - 1 à m - - 1, de n éléments, est supérieur à n — m, 

 les systèmes de racines ainsi obtenus ne peuvent donc être indé- 

 pendants entre eux. On peut choisir, comme au § 20, n--m 

 systèmes de racines indépendants entre eux. Prenant alternativement 

 des zéros pour n — m — 1 des variables x qui correspondent à. 

 n — m-- l des n — m colonnes d'un déterminant qui n'est pas 

 nul, on trouve ainsi 1/--1/1 systèmes déracines indépendants entre 

 eux, puisque leur assemblant contient un déterminant dont tous 

 les éléments sont nuls, except/' ceux de la diagonale. 



§ 31. Pour éclaircir ce qui a été dit au paragraphe précédent, 

 prenons les équations (26), où m = 4 et n = 7. Nous représenterons 

 comme il a été dit au § 2, les déterminants de l'assemblant (2!)) 

 par la lettre A, accompagnée des indices. 



Supposant (pie ./,.,.; ne soit pas zéro, les n — m = 3 systèmes de 

 racines, indépendants entre eux, contenus dans les lignes de rassemblant 



U , , -'i23> ~ 'l24' M25'~ 'r.M!' ' 1 27 



' ''l23' , y ^l34' "~ ^135' M36' ~ 'l37' 



'^123' ' ' " >' '^234' '235' ~ ''236' ''237 



satisfont aux équations (26). 



(54), 



