THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ÉLIMINATION. 25 



tous les déterminants de L'assemblant (1) sont nuls, on peut satis- 

 faire aux équations t, au moins par un système de racines. 



§ 36. Ayant pour un système de m équations linéaires homo- 



srènes à // variables, où iu <T n, n - m systèmes de racines inde- 

 ed ^ ' 



pendants entre eux, il existe un rapport constant entre les détermi- 

 nants supplémentaires des deux assemblants qui se rapportent à ce 

 système d'équations. 



En démontrant ce théorème, comme au § 24, nous avons sup- 

 posé <pie les déterminants de l'assemblanl des coefficients ne soient 

 pas tous nuls. 



Il s'agit de savoir ce (pie devient ce théorème, si tous les déter- 

 minants de cet assemblant sont nuls. Pour résoudre cette question, 

 on écrit l'équation (40) de la manière suivante: 



5= .' 5,iT = J /'"—-etc , (04). 



' M'JiU A 1235 



Elle conduit aux remarques suivantes. 



Quand l'un dv<. déterminants de l'assemblant (20) est divisible par 

 le déterminant supplémentaire de rassemblant (27), tous les déter- 

 minants de l'assemblant (20) sont divisibles par leurs déterminants 

 supplémentaires de rassemblant (27). P est donc un facteur de II. 



Si deux déterminants de rassemblant (2 7) sont premiers entre eux. 

 on a P = 1. Dans ce cas le plus grand commun diviseur R des 

 déterminants de l'assemblant (29) s'obtient en divisant l'un de ces 

 déterminants par son déterminant supplémentaire de l'assemblant (27). 



Si P n'est pas égal à l'unité, on trouve R par la formule ( 10). 



P ne peut pas être nul, car pour P = o les systèmes de racines 

 (27) ne seraient pas indépendants entre eux. 



Si l'un des déterminants de l'assemblant (27) est nul, le déter- 

 minant supplémentaire de l'assemblant (29) est aussi nul. 



Si l'un des déterminants de rassemblant (20) est nul, tandis que 

 le déterminant supplémentaire de l'assemblant (2 7) n'est pas nul, 

 on a R = o. 



Pour R = o, tous les déterminants de l'assemblant (2!)) sont 

 nuls, et l'égalité (64) se trouve affermie. 



§ 37. Les remarques du paragraphe précédent donnent le moyen 

 d'énoncer ce qui est traité au § 35, de la manière suivante: 



Pour qu'il existe une relation linéaire entre m équations linéaires 

 homogènes à » variables , où m < n , il faut et il suffit que le plus 

 grand commun diviseur des déterminants de l'assemblant des coef- 

 ficients soit nul. 



