26 THEORIE GENERALE DE L'ELIMINATION. 



§ 38. Supposons d'abord qu'il n'existe qu'une seule relation 

 linéaire entre les équations Ö. Pour déterminer les coefficients de 

 cette relation, on peut prendre m — 1 des équations % indépen- 

 dantes entre elles. Elles forment un système de m — 1 équations 

 linéaires homogènes, indépendantes entre elles, à m variables, dont 

 la résolution est donnée au § 11. 



Il est possible qu'un ou plusieurs des coefficients de la relation 

 linéaire entre les équations ô soient nuls. Dans ce cas il existe 

 une relation linéaire entre celles des équations fl dont les coefficients 

 dans la relation ne sont pas nuls. De là le théorème: 



Quand m équations linéaires homogènes à n variables , où m < n , 

 sont liées entre elles par une relation linéaire dont quelques-uns des 

 coefficients sont nuls , et qu'on prend de ces équations celles qui se 

 rapportent aux coefficients qui ne sont pas nuls, le plus grand commun 

 diviseur des déterminants de l'assemblant des coefficients de ces 

 équations est nul. 



§ 39. Pour l'évaluation des coefficients de la seule relation 

 linéaire entre les équations ô le choix des m — 1 équations Ç indé- 

 pendantes entre elles, n'a aucune influence; on trouve toujours le 

 même résultat. 



De là le théorème suivant: 



Quand m équations linéaires homogènes à n variables , où ni < n , 

 ne sont liées entre elles que par une seule relation linéaire, les déter- 

 minants contenus dans m î colonnes quelconques de l'assemblant 

 des coefficients, sont proportionnels aux coefficients de la relation 

 linéaire. 



§ 40. Pour démontrer les propriétés suivantes, nous prenons 

 les équations (26), où l'on a m = 4, et n = 7, et nous supposons 

 qu'il n'existe qu'une seule relation linéaire entre ces équations. 

 Les coefficients, premiers entre eux, de cette relation sont les 

 suivants : 



Pu Pia l'w. Pu 



(05). 



On les calcule en résolvant trois quelconques des équations 



"il l'\ Y «21 />■> H «31 l':\ 4 "41 Pi = °> 



«12 P\ I «22 / J 2 + «32 P3 4 «42^4 ~ °> I 



«13 l'\ «23 l K l + «33 l>:\ H «43 P\ = °> f 



"il l'\ 'Y «24 l'-l I «34 /':; I "il l'\ = °> , • ( (i(i )- 



«15 P\ I «25 P2 ~\- «35 / ; :t I «45 Pi = °> 



«16 l'\ H «26 !'•> + «36 />:\ H ' «46 Pi = °> 



«17 l'\ I «27 Pi • «37 V:\ H «47 /' 'i = °> 



