THEORIE GENERALE DE L'ELIMIN \THiY 



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Prenant dims cc but les i"'""', j"'"" J et /'""", on trouve: 



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(67). 



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Les numérateurs de ces fractions sont tous divisibles par les 

 dénominateurs. En prenant pour i, j et /■ les valeurs de 1 ïi u = 7, 

 on trouve le théorème suivant : 



Quand m équations linéaires homogènes à » variables, où m < n, 

 ne sont liées entre elles que par une seule relation linéaire dont les 

 coefficients sont premiers entre eux, les déterminants contenus 

 dans >n — i lignes quelconques de l'assemblant des coefficients , sont 

 tous divisibles par le coefficient de la relation qui se rapporte à la 

 ligne supprimée. 



§ 41. Quand il existe une relation linéaire entre les équations 

 linéaires homogènes (26), on peut satisfaire à ce système d'équa- 

 tions sauf par les n — m = 3 systèmes de racines (27), indépen- 

 dants entre eux, par un système de racines (32), indépendant des 

 systèmes (27). 



Cela découle des équations (35). 



Comme dans ce cas tous les déterminants de l'assemblant (29) 

 sont nuls, on peut satisfaire aux équations (35) par un système de 

 racines qui ne se compose pas de zéros seuls. 



La réciproque encore est vraie. 



Si l'on peut satisfaire aux équations (26), sauf par les « — m = 3 

 systèmes de racines (27), indépendants entre eux, encore par un 

 système de racines (32) qui est indépendant des systèmes (27), il 

 faut qu'on puisse satisfaire aux équations (35) par un système de 

 racines, ne se composant pas de zéros seuls. Pour cela la con- 

 dition est 



"n «12 "u "i 



«21 "•!■> "2 4 «27 



"31 «32 «34 «37 



"41 "42 "44 "47 



(68). 



Comme on peut choisir a volonté les n - - m = 3 colonnes d'élé- 

 ments de l'assemblant (29) à éliminer entre les équations (26) et 



