THEORIE GEXEKAU: DE E' ELI Ml NATION. 



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Comme, le déterminant des coefficients de ces équations est nul, 

 on trouve le résultat: 





-(71), 



12 13 1 1 

 Mq-i #23 "2 1 

 «32 ":!:? «31 



"il «13 «H 



&,, f/.-,.. " 



; "■; i 



«31 "33 «84 



"il «12 "il. 

 "21 «32 "2 1 

 «31 «32 «34 



"il "12 "l:i 

 "21 «23 "2:! 

 «31 «32 «S3 



c'est-à-dire un système de racines renfermant n — m = •'} zéros, 

 et par conséquent indépendant des systèmes de racines (.27). 



§ 44. En vertu du théorème du § 24 on a le théorème suivant : 



Quand il n'existe qu'une seule relation linéaire entre m équations 

 linéaires homogènes à n variables , où m < » , et qu'on forme un as- 

 semblant des n — m + 1 systèmes de racines de ces équations , les 

 déterminants, contenus dans m, — 1 lignes quelconques de l'assemblant 

 des coefficients, et les déterminants supplémentaires de l'assemblant 

 des systèmes de racines sont proportionnels entre eux. 



§ 45. Du théorème du paragraphe précédent on déduit le suivant : 



Quand m équations linéaires homogènes à » variables, où m < » 

 ne sont liées entre elles que par une seule relation linéaire, tous les 

 déterminants contenus dans m — 1 colonnes quelconques de l'assem- 

 blant des coefficients, sont divisibles par un même facteur. Ce facteur 

 s'obtient en divisant le déterminant supplémentaire de l'assemblant 

 des n ■ — m + 1 systèmes de racines indépendants entre eux, par le 

 plus grand commun diviseur des déterminants de cet assemblant. 



§ 46. Les théorèmes (\r<, deux paragraphes précédents conduisent 

 au théorème suivant: 



Quand il n'existe qu'une seule relation linéaire entre m équations 

 linéaires homogènes à n variables, où m < », et qu'il arrive que les 

 déterminants de l'assemblant des n — m + 1 systèmes de racines de 

 ces équations sont premiers entre eux, on a: 



1. les déterminants contenus dans m — 1 lignes quelconques de 

 l'assemblant des coefficients , sont respectivement divisibles par leurs 

 déterminants supplémentaires de l'assemblant des systèmes de racines ; 



2. tous les déterminants contenus dans m — 1 colonnes quelconques 

 de l'assemblant des coefficients, sont divisibles par le même détermi- 

 nant supplémentaire de l'assemblant des systèmes de racines. 



Remarque 11 peut arriver que la relation linéaire par Laquelle 

 les équations ô sont liées, ne se rapporte pas à toutes ces équations, 

 mais seulement à quelques-unes : les théorèmes des \S :$!)— 1(> restenl 

 les mêmes. Dans ce cas on peut laisser de côté les équations qui 

 n'entrent pas dans la relation: les équations restantes forment un 

 système d'équations pour lequel les mêmes théorèmes subsistent. 



