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représentent les coefficients des /■ relations Linéaires qui existent 

 entre les équations 6- 



Des /■ systèmes (73) on peut déduire un antre système de valeurs 

 l'entérinant k--\ zéros, et cela de { u "l\) manières (§ 1 (i). ('es 

 systèmes de valeurs représentent des relations linéaires entre m —k-\ I 

 des équations ô. Puisqu'on peut choisir à volonté les /• - - I 

 éléments qu'on veut convertir en zéros, il existe une relation 

 linéaire entre toutes m--h- I des équations ô, ce qui nous 

 donne le théorème: 



Quand »* équations linéaires homogènes à n variables , où i» < « , 

 sont liées entre elles par h relations linéaires , indépendantes entre 

 elles, le plus grand commun diviseur des déterminants contenus dans 

 m — /. ■ + i lignes quelconques de l'assemblant des coefficients , est nul. 



§ 49. Le théorème précédent contient le suivant: 



Quand »> équations linéaires homogènes à n variables, où m <«, 

 sont liées entreelies par h relations linéaires , indépendantes entre elles, 

 tous les déterminants contenus dans m - h + i lignes ou dans 

 m — A + i colonnes quelconques de l'assemblant des coefficients , 

 sont nuls. 



§ 50. Parmi les n équations £ on peut en choisir m — /• qu'on 

 peut regarder comme indépendantes entre; elles; elles constituent 

 un système de m-- h équations linéaires homogènes à m variables, 

 auxquelles on peut satisfaire par les /■ systèmes de racines, indé- 

 pendantes entre eux, contenus dans les lignes de rassemblant (73). 



11 existe un rapport constant (§ 2 1) entre les déterminants de 

 l'assemblant des coefficients de ces m -- h équations et leurs déter- 

 minants supplémentaires de l'assemblant (73). 



Comme on peut choisir à volonté les m — /• équations indépen- 

 dantes entre elles parmi les équations K pour le calcul des systèmes 

 de racines (73), on est conduit au théorème suivant: 



Quand m équations linéaires homogènes à » variables, où m < n, 

 sont liées entre elles par k relations linéaires, indépendantes entre 

 elles, les déterminants, contenus dans m — le colonnes quelconques 

 de l'assemblant des coefficients, sont proportionnels aux déterminants 

 supplémentaires de l'assemblant des coefficients des h relations 

 linéaires. 



§ 51. Soit P le plus grand commun diviseur des déterminants 



de l'assemblant (73); les déterminants contenus dans m — /■ colon- 

 nes quelconques de L'assemblant (I), sont divisibles par le quotienl 

 qu'on obtient, si Ton divise par /' leur determinant supplémentaire 



de l'assemblant (73). 



