32 THÉORIE fiÉNÉRALE DE L'KLIMINATIOiN. 



En appliquant ce principe à chaque système de m — h colonnes 

 contenues dans l'assemblant (1), on obtient le théorème: 



Quand >n équations linéaires homogènes à n variables, où m < n, 

 sont liées entre elles par A' relations linéaires, indépendantes entre elles, 

 tous les déterminants contenus dans m k lignes quelconques de 

 l'assemblant des coefficients, sont divisibles par un même facteur. Ce 

 facteur s'obtient en divisant le déterminant supplémentaire de l'as- 

 semblant des coefficients des A relations linéaires par le plus grand 

 commun diviseur des déterminants de cet assemblant. 



§ 52. Les théorèmes des deux paragraphes précédents mènent 

 au suivant: 



Quand m équations linéaires homogènes à n variables , où ni < u , 

 sont liées entre elles par A- relations linéaires , indépendantes entre 

 elles, et qu'il arrive que les déterminants de l'assemblant des coeffi- 

 cients de ces relations sont premiers entre eux, on a: 



1. les déterminants contenus dans ni — /.• colonnes quelconques de 

 l'assemblant des coefficients, sont respectivement divisibles par les 

 déterminants supplémentaires de l'assemblant des coefficients des A 

 relations linéaires; 



2. tous les déterminants contenus dans m — A lignes quelconques 

 de l'assemblant des coefficients , sont divisibles par le même détermi- 

 nant supplémentaire de l'assemblant des coefficients des A relations 

 linéaires. 



§ 53. Quand les m équations ô sont liées entre elles par /■ re- 

 lations linéaires indépendantes entre elles, il existe (§ 48) une re- 

 lation linéaire entre toutes m — h -J- 1 de ces équations. Supprimons 

 une de ces m — k -j- 1 équations dont le coefficient dans la relation 

 linéaire ne soit pas nul, les équations restantes forment un système 

 de m — /; équations linéaires homogènes, indépendantes entre elles, 

 à n variables. A ces équations on peut satisfaire en tout par 

 n — m -\- k systèmes de racines, indépendants entre eu\. 



De là résulte le théorème suivant : 



Quand m équations linéaires homogènes à >> variables, où m <», 

 sont liées entre elles par Je relations linéaires , indépendantes entre 

 elles, on peut satisfaire à ces équations par >> -m + Is, mais non 

 par plus de » — m + k systèmes de racines , indépendants entre eux. 



§ 54. Comment on trouve ces n — m -j- h systèmes de racines 

 indépendants entre eux, a été développé an § 30. 

 Mlles conduisent au théorème suivant: 



Quand m équations linéaires homogènes à » variables, où >» < », 

 sont liées entre elles par k relations linéaires, indépendantes entre 

 elles, les déterminants contenus dans >» k lignes quelconques de 

 l'assemblant des coefficients, sont proportionnels aux déterminants 



