THÉORIE GÉNÉRALE DK L'ÉLIMINATION. 33 



supplémentaires de l'assemblant des n — m -\- k systèmes de racines, 

 indépendants entre eux, de ces équations. 



§ 55. Comme au § 51, on trouve le théorème suivant: 



Quand m équations linéaires homogènes à i> variables, où m <», 

 sont liées entre elles par A relations linéaires , indépendantes entre 

 elles, tous les déterminants contenus dans m — A colonnes quelcon- 

 ques de l'assemblant des coefficients , sont divisibles par un commun 

 facteur. Ce facteur s'obtient en divisant le déterminant supplémen- 

 taire de l'assemblant des n ni -\- /- systèmes de racines, indépen- 

 dants entre eux, par le plus grand commun diviseur des déterminants 

 de cet assemblant. 



§ 56. Les théorèmes des deux paragraphes précédents se ré- 

 duisent (Inns le cas où les déterminants de l'assemblant des n- -m-\-k 

 systèmes de racines sont premiers entre eux, au théorème suivant : 



Quand m équations linéaires homogènes à n variables, où m < », 

 sont liées entre elles par A relations linéaires, indépendantes entre 

 elles, et qu'il arrive que les déterminants de rassemblant des 

 n — m + A systèmes de racines , indépendants entre eux , de ces équa- 

 tions sont premiers entre eux, on a: 



1. les déterminants contenus dans m, — & lignes quelconques de 

 l'assemblant des coefficients, sont successivement divisibles par leurs 

 déterminants supplémentaires de l'assemblant des n — m + /.' systèmes 

 de racines: 



2. tous les déterminants contenus dans m — A- colonnes quelconques 

 de l'assemblant des coefficients, sont divisibles par le même déter- 

 minant supplémentaire de l'assemblant des « — m + A; systèmes de 

 racines. 



Remarque. Il est possible que les /• relations linéaires (|iii lient 

 les équations 6, ne se rapportent pas à toutes ces équations, niais 

 seulement à quelques-unes: alors les théorèmes des §§ 48 — 56 

 restent les mêmes. Dans ce cas on peut laisser de n\\c les équa- 

 tions qui n'entrent pas dans les relations: les équations l'estantes 

 forment un système d'équations pour lequel les mêmes théorèmes 

 subsistent. 



Verhand. Kon. Akad. v. Wetenâch. M' Sectie) Dl. VI. (, ;; 



