84 THEORIE GÉNÉRALE DE L'ÉLIMINATION. 



II. Elimination entre deux équations homogènes 

 à deux variables. 



EVALUATION DU RESULTANT. 



$ 57. Quand on a les deux équations homogènes des degrés 

 m et n à deux variables: 



qp (x,y)=a, aT + a 2 x^y -f a^»- -f -f . . + *„, ,,//" = o, ; 



on entend par résultant la fonction des coefficients qui, égalée à 

 zéro, exprime la condition pour que ces équations aient une solu- 

 tion commune. 



§ 58. Pour déterminer le résultant, on peut former à l'instar 

 de Bezout la fonction . 



F = ^q> -\-X% ' (2), 



dans laquelle (p et X sont des fonctions homogènes de x et y avec 

 des coefficients indéterminés s. 



Le degré de la fonction F est arbitraire. Si F est du degré k, 

 ct> est du degré /• — m et X du degré /• — n. Les fonctions <$> et X 

 contiennent donc respectivement a x = /• — m ~\- 1 et a 2 = />' — n -\- 1 

 termes, tandis que F renferme h -\- 1 ternies. 



La fonction F peut être développée de deux manières: 



1. suivant les arguments consécutifs dune fonction homogène 

 des variables «?? et y ; 



2. suivant les indéterminées $, , s. 2 , s 3 , etc. 

 Ue là on déduit l'identité: 



«* Ôj -[- x^ y^\ é* y* ô 3 + . . - • + x /-i Ö, + ƒ ô, +1 



Les grandeurs du premier membre de celte identité sont îles 

 fonctions linéaires homogènes des indéterminées s dont l'assem- 



