36 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ÉLIMINATION. 



§ 00. Indépendamment des valeurs des variables x et y on peut 

 satisfaire à l'équation (5), s'il existe un système de racines s' 

 pour les équations Ö. 



Sans qu'une relation entre les coefficients des équations (1) soit 

 nécessaire, il existe au moins un système de racines pour les 

 équations 0, si l'on a v < i\ ou k > m -\- n — 1. Comme k est 

 arbitraire, il est aisé de remplir cette condition. 



Si les déterminants de l'assemblant de la fonction F ne sont 

 pas tous nuls, il existe pour les équations ô en tout v l — v systèmes 

 de racines, indépendants entre eux (§ 21). 



§ 61. La forme de la fonction F donne le moyen de trouver, 

 sans résolution directe des équations 0, les v l — v systèmes de raci- 

 nes de ces équations. 



Ecrivant l'équation (5) dans la forme 



z = — ^ 



X <? 



les deux membres qui sont du degré /• — m — n, deviennent égaux 

 pour toutes les valeurs des variables x et y, si l'on pose 



<D -£ƒ et X : cpf (7), 



où ƒ est une fonction homogène du degré /• — m -- n des variables 

 x et y. A ces équations on peut satisfaire de v 2 = k — m - - n - - 1 

 manières, c'est-à-dire d'autant de manières que la fonction f a de 

 termes. Pour l'éclaircir, on peut écrire les fonctions cl> et X des v 2 

 manières suivantes: 



* = ** X\ ~\- *i ' x - - x * 'h + x i ' 



* : ^~)iX-i + cI) 2 > x '- '>''' W% + X 2 > 



* **~f-X,3 H- *8 > X * X ~fas + X 3 .-J' 



4> ƒ" \,, L "h 4>„ , X : ƒ"'" qp y , + X„ a , 



dans lesquelles 



'h> T», qp 3 , .... 'ï,, représentent des fonctions homogènes du degré 

 m par rapport aux variables ,rvty, 



Xi> X*> Xi» ■ ■ ■ ■ Xi' ( ' (! rnême, des fonctions homogènes du degré n 

 par rapport aux mêmes variables. 



