THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ÉLIMINATION. 3 ( J 



§ 68. S'il existe pour les équations (J) une solution commune 

 (^l'j/i)' on P eu * satisfaire à l'équation (5) indépendamment des 

 indéterminées s. Substituant à x et y les valeurs œ, et ^j toutes 



les fonctions t, s'évanouissent, et l'équation (3) se transforme en 



Cette équation indique que les fonctions ô sont liées entre elles 

 par une relation linéaire dont les coefficients sont: 



I ®i*. <V~Vi > %\~V> V\\ (15). 



Chaque solution commune clés équations (1) conduit à une rela- 

 tion linéaire entre les fonctions ô. 



Pour obtenir le résultant, il suffit de supposer qu'il n'existe 

 qu'une seule solution commune des équations (1). Les fonctions 

 ô sont en ce cas liées entre elles par une seule relation linéaire. 



§ 69. Quand on pose le degré k de la fonction F tel que le 

 nombre des fonctions ne soit pas supérieur à celui des indéter- 

 minées s, l'existence d'une relation linéaire entre ces fonctions 

 exige <pie le plus grand commun diviseur des déterminants de 

 l'assemblant de la fonction F soit nul. 



Ce plus grand commun diviseur est donc le résultant des équa- 

 tions (1). L'équation (13) en est l'expression. 



§ 70. En considérant l'équation (13), on trouve que le résul- 

 tant est une fonction homogène des coefficients des fonctions <jp et 

 ;g du degré 



v - - v 2 = v l — %v 2 = m -j- n (10). 



Par rapport aux coefficients a de la fonction ? il est du degré 



a i — v 2 = /• ■■ m -f- 1 - - (/• - - m a -{- l) = n (17), 



et par rapport aux coefficients h de la fonction % du degré 



a 2 ~ ~ v 2 ~ k — n '~h l — (^ m - - a -1) — m ... .(18). 

 On démontre les formules (17) et (18) en prenant pour ]),, un 

 déterminant qui renferme seulement des éléments <z, ou un déter- 

 minant qui contient seulement des éléments b. 



§ 71. Bezout, au lieu de donner au degré de la fonction F 

 une valeur arbitraire, posa : 



h = m -f n — 1 (19). 



