40 THEORIE GÉNÉRALE DE L'ÉLIMINATION. 



On a pour cette valeur de h les valeurs suivantes: 



V 



— 



m -\- u , 



v l 



= 



m -\~ n ; 



V 2 



= 



o 



et 



le 



résultant 



II 





D 



(20), 



(21). 



(22). 



§ 72. Quand on augmente la valeur adoptée par Bezout de 

 A unités, on obtient les valeurs suivantes: 



Je = m -f- n - - 1 -j- A , 



a = k — m -\- 1 = n -\- A , 



ûs 9 = h — n -j- 1 = m -\~ A , 



v = /■ -f - 1 = m -j- « 4~ A , 



?,'j = a x -\- « 2 = »? -j- ra -f- 2A, 



y 2 = k — m — n -J- 1 = A , ' 



Pour A = o, on a v 2 = o et v = y. ; dans ce cas, il n'existe pas 

 de système de racines s'. L'expression du résultant devient pour 

 cette valeur de A la plus simple, mais toute autre valeur positive 

 de A conduit aussi au résultant. 



Il reste encore à démontrer (pic les valeurs négatives de A ne 

 conduisent pas an résultant. 



Lé raisonnement qui nous révéla l'existence de v 2 systèmes de 

 racines s' indépendants entre eux, nous fait voir en même temps 

 (pie ces systèmes de racines existent seulement, si k n'est pas 

 inférieur à m - u. Pour h <C_ m --n ou A <[ 1, il n'y a pas de 

 tels systèmes de racines. Pour A = o, on a y„ = o et v = v, ; l'exis- 

 tence d'une relation linéaire entre les fonctions Ö exige dans ce cas 

 que Le déterminant des coefficients soit nul. Pour A <^ o, r., est négatif ; 

 de L'équation (12) il s'ensuit v--v-, = - /:,. Le nombre v des équa- 

 tions ô est <le — v 2 unités supérieur au nombre y, des indéterminées 

 8: les équations ô sont alors liées entre elles par y„ relations 

 linéaires, sans qu'une condition entre les coefficients soit de rigueur. 

 Donc, les valeurs négatives de A ne conduisent pas au résultant. 



La plus petite valeur de A qui conduit au résultant est donc 

 A == o, et la plus petite valeur pour k est la valeur choisie par 



l)e/ollt. 



