THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ÉLIMINATION. 45 



qu'on obtient est précisément la même que celle qui s'ensuit de 

 la fonction F, quand on diminue le degré k de i unites. Pour 

 les v — i équations û restantes il existe encore un système de racines. 



Dans le cas où les fonctions sont indépendantes entre elles, 

 cela se démontre en prenant pour i la plus grande valeur possible. 

 Les équations Ö ont en ce cas tout au plus v 2 = v l - - v systèmes 

 de racines, indépendants entre eux. La plus grande valeur de i 

 est donc v 2 — 1, le nombre des équations Ô restantes est v — i = 

 v — (v 2 — 1) = m -j- n -J- A -- A -|- 1 = m -f- n -\- 1 , tandis que le 

 nombre des indéterminées restantes est v i - - 2/ = y, - - 2 (/\, - - 1) 

 = m -j- n -j- 2A — 2A -\- 2 = m -f n -j- 2. 



Nous avons vu qu'on peut satisfaire a ces équations par un seul 

 système de racines. 



§ 7(>. Passons maintenant au cas d'une seule; relation linéaire 

 entre les fonctions ô; ce cas se présente lorsqu'il n'existe (prune 

 seule solution commune des équations (I). On peut alors satisfaire 

 aux équations ô en tout par v 2 -j- 1 systèmes de racines, indépen- 

 dants entre eux, d'où s'ensuit que v 2 est la plus grande valeur 

 pour i. Pour cette valeur de i les équations ô se réduisent à 

 v — v 2 = m -\~ n équations linéaires homogènes avec v 1 - 2 v 2 = 

 m--n indéterminées, savoir: les n premiers coefficients de la fonc- 

 tion O et les m premiers coefficients de la fonction X. Du autre 

 système de valeurs pourra encore satisfaire à ces équations, d'où l'on 

 déduit que le déterminant des coefficients est nul. Il en résulte 

 donc que la forme générale (18) du résultant se réduit à la forme 

 particulière (21), comme dans l'exemple du § l'S. 



ÉVALUATION DE LA SOLUTION COMMUNE l ). 



§ 77. La théorie précédente donne le moyen de trouver le 

 système de racines des équations (1), si le résultant est nul. 



Evaluant (§ 38) la relation linéaire qui existe dans ce cas entre 

 les équations ô, et la confrontant avec la relation linéaire (15) qui 

 doit exister (§ 68) entre ces fonctions, on voit que deux coeffi- 

 cients successifs de cette relation forment un système de racines 

 pour les équations (1). 



') Abel a donné une autre méthode pour déterminer la solution commune île deux 

 équations dont le résultant est nul, duns les Annales >\v mathématiques de Gergonne, 

 tome XVII. Voir: J. A. Serret, Cours d'Algèbre Supérieure. 



