00 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ÉLIMINATION. 



La différence entre le nombre des colonnes et celui des lignes 

 s'exprime par l'égalité 



p., - - v = « Â -\- ot z -j- a, 3 - - v (5), 



qui devient par la substitution des valeurs de u l , ct , a. à et v, 

 réduction faite , 



v i— » = (*+!)!> — (J + w-f-i* — 2)]+- —g— -(b). 



De cette équation on peut tirer les conclusions suivantes: 



1. quand k ^> l -J- m - - n — 2, le nombre des colonnes est 

 toujours supérieur au nombre des lignes, car la plus petite valeur 

 de /, m et a est l'unité; 



2. quand k = l -\- m ~\- n — 2, on a v* — v = 



l (/— 1) + m {m— 1) -f n {n—l) 



= -, cette valeur étant sune- 



2 ' 



rieure ou au moins égale à zéro ; 



3. quand k <C l - - m - - n — 2, par exemple pour k = / -J- 



iii - - n — 2 — A, on trouve, après réduction: y. — v = 

 _/ [/_(2A + l)] + W [ W — (2A + l)]-f //[;/ — (2A + l)]-f - 3A(A-[ 1) 



2 

 cette valeur pouvant être supérieure, égale ou inférieure à zéro. 



§ SU. Si l'on peut satisfaire d'une manière quelconque à l'équation 



F=o (7), 



les deux membres de l'équation (3) s'évanouissent, Cela est possible 

 de deux manières: 



1. indépendamment des valeurs des variables se, y et ,~; 



2. indépendamment des valeurs des indéterminées s. 



§ 00. Indépendamment des valeurs des variables x, y et z on 



peut satisfaire à l'équation (7), s'il existe; un système de racines s 

 pour les équations Ö. 



Sans qu'une relation entre les coefficients des équations (!) soit 

 nécessaire, ce cas se produit, si l'on a /-, 



Il est facile de l'emplir cette condition, car /• est arbitraire. 



On peut dans ce cas supposer que les déterminants de l'assem- 

 blant de la fonction F ne soient- [tas tous nuls. Les équations ô 

 ont donc en tout r, v systèmes de racines -v' indépendants 



entre eux. 



