THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ÉUMIXAiroN. 6â 



On peut remplir cette condition d'autant de manières <|ii'il y a 



de ternies duns une fonction homogène du degré k — / — m — n à 



... . , (/■ — / — m — n 4- \)(k — / — m — n 4- 2) 



trois variables, savoir de v 3 = - 



manières. Les systèmes de racines s' sont donc liés entre eux 

 par v 3 relations linéaires. 



§ 94. Les Vo systèmes de racines t' sont indépendants entre 

 eux. Pour le démontrer, ajoutons-les après les avoir multipliés 

 par les indéterminées u v u 2 , //.j,.... u ; les résultats, égalés à 

 zéro, forment v* équations linéaires homogènes, qui déviaient être 

 vérifiées par un système de racines u, ne se composant pas de 

 zéros seuls, si les systèmes de racines t' étaient liés par des re- 

 lations linéaires. 



Ces équations u peuvent se réduire aux trois groupes suivants : 



groupe I, se composant de /3 L équations dont les coefficients 

 sont seulement des éléments a ; 



groupe II, se composant de (2., équations dont les coefficients 

 sont seulement des éléments b; 



groupe III, se composant de (o 3 équations dont les coefficients 

 sont seulement des éléments c. 



Multiplions les équations du groupe 1 respectivement par les 

 arguments consécutifs d'une fonction homogène du degré /• — ;// // 

 des trois variables x, y et z\ les équations du groupe II par les 

 arguments consécutifs d'une fonction homogène du degré /• — /--// 

 des mêmes variables; les équations du groupe 111 par les arguments 

 consécutifs d'une fonction homogène du degré /• — l — m des mêmes 

 variables ,?-, y et z, ces grandeurs étant arbitraires, et ajoutons les 

 résultats de chaque groupe; on obtient les trois équations: 



Uqp =0, Ü X = °> Utp = ° (11). 



Dans ces équations U représente une fonction homogène des 

 variables x, // et z, du degré /• — / — m — //, ayant pour coefficients 

 les v. A indéterminées //. 



Si les systèmes de racines /' n'étaient pas indépendants entre 

 eux, il faudrait pouvoir satisfaire aux équations (M), a?, y et z 

 ayant des valeurs arbitraires, par un système de valeurs u, ne se 

 composant pas de zéros seuls. Comme c'est impossible, les systè- 

 mes de racines t' sont indépendants entre eux. 



§ 1)5. Les déterminants de l'assemblant des systèmes de racines 

 /' sont premiers entre eux. 



