THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ÉLIMINATION. (i ( .) 



Pour h<Cl~ i" - n ou A <f 2, il n'existe pas de telles rela- 

 tions entre les systèmes de racines s'. 



Pour A = I et pour A = 0, on a /\ { = et i\, = v< - v; les 

 Va systèmes de racines s' représentent dans ces cas précisément 

 les y, — v systèmes de racines indépendants entre eux, qui peu- 

 vent se produire. 



Pour A < 0, v 3 est positif. Les v équations linéaires homogènes 

 ô aux v-, variables s peuvent se vérifier dans ce cas par /•., = 

 v l — V--Va systèmes de racines s' indépendants entre eux. Comme 

 ce nombre est de v s unités supérieur à. v, — v, les équations ô 

 sont liées entre elles par v 3 relations linéaires, sans qu'une relation 

 entre les coefficients soit exigée. Donc, les valeurs négatives de A 

 ne conduisent pas au résultant. 



La plus petite valeur de A qui conduit au résultant est donc 

 A = 0, et cette valeur pour k est k = l -- m -\- n - 2 , préci- 

 sément la valeur posée par Bezout 1 ). 



') Qu'on nous permette de signaler ici une erreur de M. le Chevalier François Faà 

 de Bruno duns sa Théorie générale de l'élimination, Taris 1859. 



11 croit pouvoir trouver le résultant dans quelques cas en prenant pour le degré de 

 la fonction /•' une valeur inférieure h l -\- m -\- n — '2. 11 applique cette idée fausse à 

 trois équations dont deux sont du troisième et une du deuxième degré, et trouve vingt 



et une équations linéaires entre vingt-deux arbitraires «,, a., * sî , mais il n'a pas 



remarqué que les colonnes de son assemblant (voyez les pages 136 et 137 de son ouvrage) 

 sont liées entre elles par deux relations linéaires dont les coefficients sont compris dans 

 les lignes du tableau : 



X 



<*. 



«3 



*» 



X. X 

 5 ^0 



X. 



a 



x i 





*,1 



<*,, «13 



"v. 



oc . 



«16 *11 *»« «18 



"20 



*»] œ jl 



— d" 









-c"- 







-d" 



(1 



't" 



b" 







c" 







d" 











d 



-b' 



b 



— c' 



-d' —:■ -r -g' 

 d e f g 



-It'- 

 ll 



-k' — V 



k ( 



de sorte qu'il y a réellement vingt et une équations entre vingt arbitraires, d'où l'on 

 ne peut pas déduire le résultant. 



De même, ce mathématicien croit à tort que la recherche du résultant se simplifie, 

 quand on laisse de côté quelques termes des polynômes multiplicateurs. Comme applica- 

 tion il donne l'exemple de trois équations du second degré (voyez les pages L37 e1 L38). 

 Il trouve un déterminant qui est nul identiquement (sans parler de la faute d'impression 

 qui s'est glissée dans cet assemblant). 



En effet, le déterminant trouvé par lui pour le résultant, doil être divisible par le 

 déterminant 



o r —r 



— /'" o /' j qui est identiquement nul. 

 I" -/' o 



De même, les conclusions des pages 133 jusqu'à 136 et des pages 186 et 1ST sont 

 inexactes. 



