THÉORIE GENÉBALE DE L'ÉLIMINATION. ?<) 



et 8 Xi + * sont nuls. Cette propriété est <l;ins le cas en question 

 plus générale et s'énonce: 



Quand on emprunte d'un système de racines appartenant aux 

 équations i) les trois groupes d'éléments: 



1. les éléments qui correspondent aux k — l + i derniers coefficients 

 de la fonction <|>, 



2. les éléments qui correspondent aux k — m + i derniers coefficients 

 de la fonction X, 



3. les éléments qui correspondent aux k — n + 1 derniers coefficients 

 de la fonction y , 



et que le cas se présente que tous les éléments de deux de ces groupes 

 sont nuls, tous les éléments du troisième groupe sont aussi nuls. 

 En même temps les k + 1 dernières équations disparaissent. 



Afin de démontrer ce théorème, posons (Inns l'équation (3) 

 x = 0. 



Il faut qu'on puisse satisfaire à l'équation restante pour toutes 

 valeurs de y et de z. En tenant compte de cette observation on 

 démontre facilement de la manière connue le théorème proposé. 



En introduisant un tel système de racines 8 dans L'équation 

 (3) et en divisant les deux membres par x, l'équation qu'on ob- 

 tient est précisément celle qui se déduit de la fonction F, quand 

 on diminue le degré k d'une unité. 



Parmi les systèmes de racines 6-' qui résultent des identités (S), 

 il y en a un ou plusieurs qui ont la propriété proposée, si /• rem- 

 plit l'une des conditions : 



k > m -f- n , k > / -\- n , k > / -j- m (46). 



Si /, m et u ne sont pas tous égaux à l'unité, l'une des con- 

 ditions (46) est assurément remplie, quand on a 



k > / + m + n - % (47). 



La forme du résultant, en supposant k ]> / -(- m -j- n — 2, se 

 réduit donc à celle que l'on obtient, quand on diminue la valeur 

 de k d'une unité. 



Il s'ensuit que les formes diverses du résultant, obtenues pour 

 des valeurs différentes de k, supérieures à l -\- m -f- n — 2, sont 

 égales à celle obtenue pour k = / -j- m -\~ n - - l. 



