80 THÉORIE GÉNÉRALE BE L'ÉLIMINATION. 



EVALUATION DE LA SOLUTION COMMUNE. 



§ 109. La théorie précédente donne le moyen de trouver le 

 système de racines des équations (1), si le résultant de ces équa- 

 tions est nul. 



En évaluant (§ 38) la relation linéaire qui existe dans ce cas entre 

 les équations ô, et en la comparant à la relation qui doit exister 

 entre ces fonctions (§ 98), on voit que les trois premiers coefficients 

 de cette relation forment un système de racines pour les équa- 

 tions (1). 



S'il n'existe qu'une seule solution commune, les fonctions ne 

 sont liées entre elles que par une seule relation linéaire. Supposons 

 pour la trouver, le degré k de la fonction F d'une unité infé- 

 rieur au degré que Bezout fixa pour déterminer le résultant. 

 C'est à la fois la plus petite valeur pour l qu'on puisse prendre. 

 On obtient alors : 



(k— 1+ l) tk—l + 2) (iii+u — 2) (w + ■>/. — 1) 



«1 = — -g- 



{k — m + \)(k — m + 2) 

 « 2 = â 



{k — n + l)(k— n + 2) 



"s — 2 



(/, _ m _» + Y) (k— m — m + •!,) 

 ^ = ~ ~2~ 



^—l — y + 1) (fr — l—n + 2) 



<?o=- 



2 



a Qe — l—m + 1) (k—l—m + 2) 

 h = 2 



(k + 1) (* + 2) _(l + m + h — 2) (/ + m + h — l) 



2 

 (1+ n — 2)(l + n- 



-1) 



2 

 (1+111 — 2) (l + m- 



-11 



2 

 (l—2)(/—l) 





2 

 (m — 2) (m — 1 





2 

 _(» — 2) (m — 1) 





2 





.(48). 



01=«1 + «2 + «3 , 



r, = ft + fc + fc , 



» 8 == (k—l—m—n + l)(/fc — l — m— » + 2)=l, 



La valeur y 3 = I montre que les équations 6 sont dans ce cas 

 liées entre elles au moins par une relation linéaire, tandis qu'il 

 existe v 2 =v 1 — (v — 1) systèmes de racines indépendants entre 

 eux pour les équations ô. 



Ces Va systèmes de racines s' sont, sans résolution directe des 

 équations 0, faciles à déterminer par les identités (S). 



L'assemblant de la fonction F a la propriété (§ 46) que les 

 déterminants qui sont contenus dans v - I colonnes quelconques, 



