6 DIE REGELMÀ.SSIGEN VIERDIMENSIONALEN 



Die erste dieser Tabellen zeigt alle formell möglichen Fâlle m n p. 

 Die Anordnuug der Symbole zeigt cine Symmetrie in welcher das 

 Prinzip der Dualitât zuni Ausdruck kommt, Die Symbole m n p 

 und p n m bezeichnen namlich zwei zueinander reziproke Gebilde. 

 Das in sick symmetrische Symbol mora entspricht einer autorezi- 

 proken Figur. 



Die zweite Tabelle zeigt für jedes in 11 p das Leicht zu bestim- 

 mende Verhàltnis ''/u Vün Kante und Radius. Einaiider cntspre- 

 chende m n p und a L sm( l i' 1 entsprecliende Fâcher der Tabellen 

 eingesetzt. 



In dieser Weise erhalten wir : 



1°. Die konvexen Polytope: 

 333, 331 u. 433, 313, 335 u. 533. 



2°. Den von Hexaedern ausgefiillten dreidimensionalen Raum 434. 



3°. Die dem imaginaren Gebiete des (Euklidischen) Raumes R 4 

 angehörigen Gebilde 135 u. 531, 353, 535. 



4°. Die reellen, dem soeben genannten sehr nahe verwnndten 

 Gebilde: tS*/« u. B / 2 34, 3 5 /.,3, 5 / 2 35. 



Es sind aber diese Gebilde keine geschlossenen Polytope, derm 

 zwei Kanten, die einc Ecke mit den Enden einer Hauptdiagonale 

 des entsprechenden Basispolyeders verbinden, sind Selmen eines 

 grossen Kreises der umschriebenen Hypersphâre. Die entspre- 

 chenden Verhiiltnisse a / R zeigen aber, dass diese Kanten keine 

 Seiten eines regeltnassigen Polygons sind. Es führt dalier das 

 Aneinanderreihen der Grenzpolyeder nie zu einer geschlossenen 

 Figur. 



5°. Die zehn mit den 335 u. 533 zu einer Familie gehörigen 

 sternartigen Polytope SS 5 /,, u. 5 / 2 33, 357., u. B / s 53, 53 5 / 2 u. 5 / 2 35, 

 3 5 / 2 5 u. 5 5 /,3, 57,,5, 7,57,. 



Die Ordnungszahl ihrer genieinschaftlicheii Bewegungsgruppe ist 

 7200. (s. ineine Abhandlung ü. d. Sechshundertzel] 1. c). 



Zur Bestimmung ihrer kennzeichnenden Zahlen a , n, , a 2 , a 3 

 benutzen wir folgenden allgemeienn Satz. 



Wenn G die Ordnungszahl der Bewegungsgruppe eines m 11 p 

 ist, G (mn) die des Grenzpolyeders, G (II|1) die des Basispolyaeders, 

 so sind: 



( i G G (i 



'{run) 



a ° ""(;„,' &1 = = 2p' a2== 2m' a3 ""(i 



