() BEGRÜNDUNG DER MENGENLEIIRE UNAB1IÂNGIG VOM 



der neuen Zâhlung die Ziffer 1 zugeordnet ist, übergeht, werden 

 wir als „zweite Zâhlung" bezeichnen. Alsdann benutzen die erste 

 und die zweite Zâhlung dasselbe Anfangssegment von Ç, wâhrend bei 

 der zweiten und bei der neuen Zâhlung die Ziffer 1 demselben Eleinentë 

 von E zugeordnet ist. Die Zâhlung, in welene die zweite Zâhlung 

 durch Verwechselung der Elemente, denen bei dev zweiten und bei 

 der neuen Zâhlung die Zifter 2 zugeordnet ist, übergeht, werden 

 wir als „dritte Zâhlung" bezeichnen. Alsdann benutzen die erste 

 und die dritte Zâhlung dasselbe Anfangssegment von Ç, wâhrend 

 bei der dritten und bei der neuen Zâhlung die Ziffern 1 und 2 

 je demselben Elemente von A' zugeordnet sind. In dieser Weise 

 fortfahrend, gelangen wir schliesslich zu einer „letzten Zâhlung", 

 welehe einerseits dasselbe Anfangssegment von Ç, wie die erste 

 Zâhlung, also das Segment 1, 2, 3,... r benutzt, andererseits die 

 Ziffernkomplexe 1, 2, . ... r je demselben Elemente von E zuordnet, 

 wie die neue, Zâhlung. Hieraus folgern wir hinsichtlich der neuen 

 Zâhlung, dass, nachdem wir die ZifFernkomplexe 1, 2,... r den- 

 jenigen Elementen von E zugeordnet haben, denen sie bei der 

 neuen Zâhlung entsprechen, die Menge E erschöpft ist, d.h. dass 

 die neue Zâhlung dasselbe Anfangssegment von Ç benutzt wie die 

 erste Zâhlung, w. z. b. w. 



Auf Grund der Haupteigenschaft dürfen wir die Kardinalzahl 

 einer endlichen Species mit dem letzten Ziffernkomplex dev Folge 

 <f, der bei der Zâhlung der Menge benutzt wird, bezeichnen. Die 

 Kardinalzahl einer Species ohm; Element heisst Null und wird mit 

 bezeichnet. 



Aus der Haupteigenschaft folgt unmittelbar, dass cine echte Teil- 

 species einer endlichen Species E nicht mit E selbst gleichmachtig 

 sein. kann (die entgegengesetzte Annahme fiihrt nâmlich sofort auf 

 einen Widerspruch). Insbesondere kann eine endliche Species nicht 

 gleichzeitig unendlich sein. 



Sei £7 eine reduzierbar unendliche Species; U* die abtrenn bare, 

 mit A gleichmâchtige Teilspecies; e { , e 2 , e, A ,.... die Elemente 

 von U x ; U 2 die z " ^i m U konjugierte Zerlegungsspecies. Indem 

 wir e l mit e 2 , e 2 mit <? 3 , usw., und jedes Element von U 2 mit sich 

 selbst korrespondieren lassen, erzeugen wir eine eineindeutige 

 Beziehung zwischen U und einer echten Teilspecies von U. Mithin 

 gilt der Satz : 



Jede reduzierbar unendliche Species U enthâlt mit U glcich- 

 màchtige echte Teilspecies. 



Das einfachste Beispiel einer unendlichen Menge bildet die Menge 

 A selbst, deren Kardinalzahl wir mit a bezeichnen weiden. Species, 



