LOGISCHEN SA.TZ VOM AUSGESCHLOSSENEN DRITTEN. 7 



welche diese Kardmalzahl besitzen, heissen abzàhlbar unendlich, sodass 

 tuigende Aussage gilt: Jede unendliche Species enthàlt eine mit einer 

 abzàhlbar unendlichen halbidentiscke Teilspecies. 



Einfache Beispiele von abzàhlbar unendlichen Species lassen sieli 

 in mannigfacher Weise angebcn. Die Menge der positiven nnd 

 negativen ganzen Zahlen (d. h. genau genommen, die Menge der 

 diese Zahlen bezeichnenden Zeichenkomplexe) erscheint als abzàhlbar 

 unendlich, wenn wir diese Zahlen nach steigenden absolnten Werten 

 ordnen. Die Species der rationalen Zahlen x erscheint als abzàhlbar 

 unendliche Menge, wenn wir jede dieser Zahlen als Wurzel einer 

 bestimmten, Gleichung pw -^-.q = (in welchcr p und q möglichst 

 kleine ganze Zahlen sind und p positiv ist) betrachten, und diese 

 Gleichungen nach der Slimme der absoluten Werte - von p und 

 q ordnen. 



Um zu beweisen, dass auch die Species der algebraischen Zahlen 

 eine abzàhlbar unendliche Menge ist, verstellen wir unter dem 

 Grade einer algebraischen Zahl den Mininialwert der Grade der 

 algebraischen Gleichungen mit ganzen Koeffizienten, welche Q als 

 Wurzel besitzen, und unter den Koeffizienten einer algebraischen 

 Zahl ö vom Grade n, die Koeffizienten derjenigen Û als Wurzel 

 besitzenden algebraischen Gleichung j\x) c x n -f- c l x n ~ i -f- . . . -\~c n 

 •== 0, in welcher c positiv ist und alle Koeffizienten möglichst kleine 

 ganzzahlige Werte besitzen. Diese Koeffizienten von ö sind ein- 

 deutig bestimmt; ware namlich ö Wurzel von zwei verschiedenen 

 Gleichungen <p (x) i x n -f- cc x x n ~ x -\- . . . -\- <z n = und ^ {po) =«? n 

 -(- /3j a? w-1 -j- . . . -J- /8 n = mit rationalen Koeffizienten, so ware sie 

 auch Wurzel der Gleichung <p (a?) — ^ {%) — Q s deren Grad kleiner 

 ware als u. Die Species der algebraischen Zahlen erscheint numnehr 

 als abzàhlbar unendliche Menge, wenn wir diese Zahlen nach stei- 

 genden Werten der Su mme von ihrem Grade und den absoluten 

 Betuigen ihrer Koeffizienten ordnen. 



Eine Species heisst abzàhlbar, wenn ein Gesetz existiert, das 

 jedem ihrer Elemente einen verschiedenen ZifiFernkomplex von Z, 

 zuordnet. Sie heisst insbesondere zdhlbar, wenn das Gesetz erlaubt, 

 von jedem Ziffernkomplex von <f zu entscheiden, entweder welchem 

 Elemente der betreffenden Species es zugeordnet ist, oder dass es 

 keinem Elemente der betreffenden Species zugeordnet ist. Eine Species 

 s heisst auszdhlbar, wenn jedem Elemente cc einer gewissen Teil- 

 species A x von A ein Element /3 von s zugeordnet ist in solcher 

 Weise, dass die Species der /3 mit s halbidentisch ist. 1st überdies 

 A x mit A identisch, so heisst s durchzàhlbar. 1st schliesslich auch 

 die Species der (2 mit s identisch, so heisst s aiifzaJilbar. 



