S BEGRÜNDUNG DEB MENGENLEHBE UNABHÀNGIG VOM 



Um ein geometrisches Beispiel einer zàhlbaren Species zu geben , 

 schieken wir folgende Definitionen voraus: 



Wir wiihlen in der Ebene ein rechtwinkliges Koordinate«system , 

 und zerlegen die Ebene in Quadrate x, mit der Seitenlânge J , deren 

 Bckpunkte ganzzahlige Koordinaten besitzen. Jedes der Quadrate 

 k { zerlegen wir in vier kongrueute homothetische Teilquadrate x..,, 

 und definiëren, in dieser Weise fortfalirend, Quadrate /.., , x 4 , usw. 

 Unter einem Quadrat k verstellen wir ein Quadrat x„ mit vvill- 

 kürlichem v. Unter einem Bereich verstellen wir eine solche Speeies 

 der Kardinalzahl a von Quadraten k (einsehliesslieh der Grenze), 

 dass sich zu jedem Quadrat k' des Bereichs eine endliche Menge 

 von ebenfalls znin Bereiche gehörigen Quadraten x. angeben lâsst, 

 welche x! vollstàndig einschliessen. Làsst sich überdies von jedem 

 Quadrate /. angeben, entweder dass es von einem bestimmten 

 Anfangssegraente des Bereichs überdeckt wird, oder dass es von 

 keinem Anfangssegmente des Bereichs überdeckt wird, so heisst der 

 Bereich ein Gebicf. Làsst sieh fïir zwei willkürliche Quadrate k des 

 Bereichs entscheiden, oh sie sieh durch einen vom Bereiche iiber- 

 deckten Streckenzug verbinden lassen, so heisst der Bereich differen- 

 zierf. Lassen zwei willkürliche Quadrate /. des Bereichs sieh durch 

 einen vom Bereiche iiberdeckten Streckenzug verhinden, so heisst 

 der Jïereich einfaeh. 



Wir denken uns nun einen differenzierten Bereich /3, und lassen 

 aus der entsprechènden Quadratspecies diejenigen Quadrate k fort, 

 welche sieh mit einem vorangehenden (d.h. einem früheren Ziffern- 

 komplex von <f zugeordneten) Quadrate x, von /3 durch einen von 

 /3 überdeckten Streckenzug verbinden lassen. Die übrigbleibenden 

 Quadrate bilden eine zàhlbare Species k', k", k'",..., und jedes 

 Quadrat &(") bildet zusammen mit denjenigem Quadraten /. von /3, 

 welche sich durch einen von /3 iiberdeckten Streckenzug mit x(") ver- 

 hinden lassen, einen in /3 enthaltenen einfaehen Bereich. Wir haben 

 mithin den 8a tz, dass jeder differenzierte Bereich in eine zàhlbare 

 Species von einfaehen Bereichen zerlegt ist. 



Die Species; der Pan re cou Ziffernkonrpleœen con Ç ist eine abzàhlbar 

 unendliche Menge; wir brauchen, uni dies einzusehen, dièse Paare 

 nur nach (1er Suninie der zugehörigen ganzen Zahlen zu ordnen. 

 Hieraus folgt, dass eine Species welche in eine abzàhlbar unend- 

 liche (bzw. abzàhlbare, zàhlbare, auszàhlbare, durchzàhlbare, auf- 

 zahlbare) Species von abzàhlbar unendlichen (bzw. abzâhlbaren, 

 zàhlbaren, auszàhlbaren, " durchzàhlbaren , aufzàhlbaren) Mengen 

 zerlegt ist, ebenfalls eine abzàhlbar unendliche (bzw. abzàhlbare, 

 zàhlbare, auszàhlbare, durchzàhlbare, aufzàhlbare) Menge ist. 



