LOGISCHEN SATZ YOM AUSGESCHLOSSENEN DIUTTEN. 13 



O, verstehen wir un ter L das zwischen a> v = - -\ , - 4- . . . 



2''i ' 2 a i+"2 ' 



4- -- -- — : r— mid x v -\- - — : : — enthaltene Intervall, mul ordnen 



1 2 a i+ a 2+--+ a v 2"i+ ••+"!/ 



wir iïïr gegebenes v allen Intervallen (k ]/ ) h das Intervall i v als A b zu, 



so erreicben wir, dass jedein Elemente d von C eine verschiedene 



stetige Funktion der genannten Art entspricht, sodass die Species 



8 der stetigen Fwnktionen einer zwischen und 1 schwankenden 



Verânderlichen der Menge C équivalent ist. Ausserdem sincl die 



Species S und C, wie; man leicbt einsieht, von gleichem U inning 



und von gleicber Ausdehnung. 



Die Menge ist //rosser als die Menge A. Ein Gesetz, das jedein 



Elemente g von O ein Element h von A zuomnet, muss niimlich 



das Element h vollstandig bestimmt baben nacb dem Bekanntwerden 



eines gewissen Anfangssegmentes cc der Folge von Ziffernkomplexen 



von g. Dann aber wird jedem Elemente von C, welches cc als 



Anfangssegment besitzt, dasselbe Element // von A zugeordnet. Es 



ist mitbin unmöglich, jedem Elemente von C ein versebiedenes 



Element von A zuzuordnen. Weil man andererseits in mannigfacher 



Weise jedem Elemente von // ein versebiedenes Element von (' 



zuordnen kann, so ist biermit der aufgestellte Satz bewiesen. 



2. Die Ordinalzahleu. 



Eine Species beisst geordnet, wenn zwischen je zwei als verschieclen 

 erkannten Elementen a und b der Species eine solche als ordnende 

 Relation, ,zu bezeichnende asymmetrische Relation im einen oder 

 im anderen Sinne definiert ist, welche, wenn wir sie im einen 

 Sinne dureb „a <C b" oder „a vor V ocler „a links von 6" oder 

 n è > «" oder „6 noch a" oder „b rechts von a" und im anderen 

 Sinne durch „a ^> b" oder „a nach b" oder „a recht* von b" oder 

 „b <C a" oder n b vor a" oder „b linies von a" ausdrücken, die 

 sogenannte Ordnungseigenschaft besitzt, w r elche aussagt, class die 

 Relationen a < b und b < c die Relation a << c nacb sich ziehen. 



Wenn a , b und c Elemente der geordneten Species 1/ sind, und 

 a vor b und b vor c liegt, so sagt man aucb, class b zwischen a und 

 c oder zwischen c und a liegt. 



Die Species derjenigen Elemente der geordneten Menge M, welche 

 zwischen a und b liegen bzw. als weder vor a noch nach b liegend 

 erkannt sind (a •< b), bildet das offene bzw. geschlossene Intervall 

 <tb. Die Elemente a und b heissen die Endelemente des (offenen 

 oder geschlossenen) Intervalles ab. 



