14 BEGRÜNDUNG DER MENGENLEHRE UNABHÂ.NGIG YOM 



Wenn zwischen zwei geordneten Species M und N eine solcbe 

 eineindeutige Beziehung liergestellt werden kann, dass zwischen 

 zwei einander zugeordneten Blementepaaren die ordnende Relation 

 im selben Sinnc gilt, so sagen wir, dass M und yVdieselbe Ordinalzahl 

 besitzen oder àhnlich sind. 



Ein einfaches Beispiel einer geordneten Menge bildet die Menge 

 A, wenn wir die ordnenden Relatioiien der natiirlichen Rangordnung 

 der Elemente in der Folge £ eatnehmen. Hire Ordinalzahl wird mit 

 w bezeiob.net. Kehren wir den Sinn aller ordnenden Relatioiien uni , 

 so entstebt eine none geordnete Menge, deren Ordinalzahl mit *a 

 bezeiehnet wird. 



Unter einer Fundamentalreihe werden wir eine geordnete Species 

 der Ordinalzahl u verstenen. 



Jede geordnete endliche Menge IJ besitzt ein erstes Element ' , d.h. 

 ein Element, welcbes vor jedem anderen Elemente liegt. Uni dies 

 zu beweisen, unterziehen wir E einer bestimmten Zàhlung, so dass 

 wir in E ein bestimmtes Element 1. ein bestimmtes Element 2, 

 usw. erhalten. Wenn nun das Element 1 nicht das erste Element 

 der geordneten Menge E ist, so gibt es in der Folge geinen ersten 

 solchen Ziffernkomplex a 2 , dass das Element a 2 von F vor dem Ele- 

 mente 1 von E liegt. Wenn auch das Element a 2 nicht das erste Element 

 der geordneten Species E ist, so gibt es in der Folge £ einen ersten sol- 

 chen Ziffernkomplex a 3 , dass das Element « 3 von E vor dem Elemente 

 a., — und gleichzeitig vor allen Elementen 1, 2, 3,. . . (« 3 — 1) — von 

 IJ liegt. Indeni wir in dieser Weise fortfahren, erreichen wir 

 schliesslich einen solchen Ziffernkomplex a h der Folge £, dass, wenn 

 a in der Folge <f weiter liegt als a h , das Element a von IJ nach 

 dem Elemente a h von E liegt. Alsdann ist a notwendig das erste 

 Element der geordneten Species E. 



]\\ analoger Weise zeigt man, dass jede geordnete endliche Species 

 ein letztes Element besitzt, d.h. ein nach jedem andereu Elemente 

 liegendes Element. 



Je zwei geordnele endliche Species /;, und IJ, derselben Kardinal- 

 zalil besitzen dieselbe Ordinalzahl. Wenn wir namlich sowohl E y 

 wie IJ, in soleher Weise zàhlen, dass dem ersten Elemente die 

 Zifter 1, dem ersten Elemente des Restes die Zifter 2, usw. zuge- 

 ordnet wird, so brechen heide Zàhlungen bei demselben Ziffern- 

 komplex a von t, ab. Die beiden Zàhlungen erzeugen mithin eine 

 eineindeutige Beziehung zwischen A\ and E 2 , und diese Beziehung 

 besitzt auch die fi'ir die Ahnlichkeit beider Species erforderte 

 Eigenschaft. 



Jeder endlichen Kardinalzahl (inklusive Null) entspricht somit 



