LOGISCHEN SATZ VOM AUSCESCHLOSSENEN DRITTEN. 15 



uur eine einzige endliche Ordinalzahl, sodass wir die letztere mit 

 demselben Ziffernkomplex wie die erstere bezeichnen können. 



Dass diese Eigenschaft bei den nnendlichen Kardinalzahlen fort- 

 fâllt, sielit man sofort ein, wenn man z.B. die Menge der rationa- 

 len Zahlen einerseits als eine der Folge <f âhnliche Menge, anderer- 

 seits in der natürlichen Rangordnnng dieser Zahlen betrachtet. 



Seien M und N zwei elementefremde geordnete Species der 

 Ordinalzahlen m und n. Setzen wir weiter fest, dass zwisehen einem 

 willkürlichen Elemente p von Al und einem willkürlichen Elemente 

 q von N die Relation „p vor q" bestehen soil, so geht dadurch 

 @ {M, N) in eine mit M -f- N zu bezeichnende geordnete Species 

 über, welche die Summe von M und N genannt wird, wahrend 

 ihre Ordinalzahl die Summe von m und n heisst und mit m -j- n 

 bezeichnet wird. In analoger Weise detinieren wir die Summe einer 

 willkürlichen geordneten Species von Ordinalzahlen m mittels der 

 Vereinigungsspecies entspechender elementefremder geordneter Species 

 M. Man sieht unmittelbar ein, dass diese „Addition von Ordinal- 

 zahlen'" die assoziative Eigenschaft besitzt. Die ordnenden Kelationen 

 der betreffenden Vereinigungsspecies werden namlich durch Assozia- 

 tion nicht beeinrlusst. Dagegen versagt für die Addition con Ordi- 

 nalzahlen die Commutative Eigenschaft, wie aus dem Beispiel 

 co -j- 1 jé 1 . -j- u hervorgeht. 



Wir denken eine endliche Grup))e von elementefremden geord- 

 neten Species M 1 , M 2 , . . M h mit den Ordinalzahlen u/ 1> m 2 , ■ .m h gege- 

 ben, bezeichnen ein willkürliches Element von M v mit p v , und 

 betrachten die Species der Elementegruppen (p 1 , p 2 , ..pu). Diese 

 Species ordnen wir, indem wir hinsichtlich der ordnenden Rela- 

 tion zwisehen den Grappen (p' u p'.,,. .p' h ) und {j>'\,p'\, ■ ■ p'\) fol- 

 gende Eestsetzungen treffen: wenn p' h ^p" h , so ist sie dieselbe wie 

 diejenige zwisehen //,, umi p" h ; wenn p' h —p"),, ■ ■ -p'k + x —p"ic+i> aoer 

 p! k ^p" k , so ist sie dieselbe wie diejenige zwisehen p' k und p" k . Die 

 in dieser Weise geordnete Species von Elementegruppen bzw. ihre 

 Ordinalzahl heisst das Produit von M x , . . . M h bzw. von m v . . . 

 m h und wird mit M x . M 2 . . . M h bzw. m v m 2 . ■ ■ m h bezeichnet. 

 Die assoziative Eigenschaft dieser „Multiplication von Ordinalzahlen" 

 ist evident, weil die ordnenden Kelationen der betreffenden Species 

 von Elementegruppen durch die Assoziation nicht beeinrlusst werden, 

 wahrend das Beispiel w. 3 ^ 3. w zeigt, dass die komniutative Eigen- 

 schaft für die Multiplikation ebensowenig wie für die Addition 

 besteht. Weiter sieht man unmittelbar ein, dass in einem Produkte 

 von zwei Faktoren die distributive Eigenschaft nach don rechtssei- 

 ügen Faktor gilt ; für ein Produkt mehrerer Faktoren besteht' die- 



