J 6 l'-EGRÜNDUNG DER MENGEN LEHRE UNABHÂNGIG VOM 



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selbe Eigenschaft für den letzten Faktor, für die iibrigen Faktoren dage- 

 gen nicht, wie das Beispiel (co -j- 1) 3 = co. .3 -\- 1 ^ co. 3 -|- 3 beweist. 

 Sei a eine endliche Zahl und m eine willkürliche Ordinalzahl, 

 so wird das Produkt von a gleichen Paktoren m mit m" bezeichnet; 

 und die a-te Potenz von m genannt. Auf Grund der assoziativen 

 Eigenschaft der Multiplikation Kelten die Pormejln ///". m b = ■>"" ' 



m 



und (m"f = ni 



Wenn a,, a 2 , ... die Eleniente einer Fundamentalreihe ,- sind, 

 welche in soldier Weise als Teilspecies in einer geordneten Species 

 M enthalten ist, dass a v <C a v +i für jedes v, so heisst - eine steigende 

 Fundamentalreihe von .!/. Wenn dagegen Oy > a y+i für jedes v, 

 su heisst p eine fallende Fundamentalreihe von .)/. 



Zwei steigende Fundamentalreihen mit den Elementen a lt </.,,. . . 

 bzw. b x , b 2 ,... von M heissen zusammengehörig , wenn zu jedem 

 d (J , ein b v > a fJL und zu jedem b, A ein a„ >> b (t angegeben werden 

 kann. In analoger Weise definiert man zusammengehörige fallende 

 Fundamentalreihen. 



Seien a x , a 2 , ■ ■ ■ die Eleniente einer steigenden Fundamentalreihe 

 F von M, und a„ ein solches Element von M, dass a y <", a m für 

 jedes v, wàhrend zu jedem b << a^ ein fl„ > ó angegeben werden 

 kann, so heisst a u Grenzelement von f. In analoger Weise definiert 

 man Grenzelemente fallender Fundamentalreihen von M. Grenzele- 

 menCe steigender oder fallender Fundamentalreihen von M heissen 

 auch Hauptelemente von M. 



, Die geordnete Species M heisst überall dicht zmschen ihren Ele- 

 menten a und b (a <C b), wenn zwischen zwei wilikürlichen , als von- 

 einander verschieden und weder vor u, noch nach /; liegend erkannten 

 Elementen /; und q von M andere Elemènte von M liegen. 



Die geordnete Species M heisst überall dicht im weiteren Sinne 

 oder kurz liberal! dicht, wenn zwischen zwei wilikürlichen, von- 

 einander verSchiedenen Elementen p und q von M andere Eleniente 

 von M liegen, und überall dicht im engeren Sinne, wenn sich überdies 

 ein Element von M angeben lâsst und sowohl rechts wie links von 

 einem wilikürlichen Elemènte von M andere Elemènte von M liegen. 



Die geordnete Species M heisst nirgends dicht zwischen ihren 

 Elementen a und b (a •< b), wen zwei willkürliche, als voneinander 

 verschieden und weder vor a noch nach /; liegend erkannte Eleniente 

 p und q von M (p •< q) die Eigenschaft besitzen, dass es zwei als 

 voneinander verschieden und weder vor/y noch nach q liegend erkannte 

 Eleniente r und 6- von M gibt, welche ein f reien ïntervall bilden 

 d.h. zwischen denen keine anderen Elemènte von .1/ liegen. 



