LOGISCHEN SATZ VOM AUSGESCHLOS8ENEN DRITTEN. 17 



Die geordnete Species M héissl nirgends dicht, wenn zwei vvill- 

 kürliche voneinander verschiedene Elementen and q von M (p <C q) 

 die Eigenschaft besitzen, dass es zwei als voneinander verschieden und 

 weder vor p noch nach q liegend erkannte Elemente r und s von M 

 gibt, welche ein freies Intervall bilden. 



Die geordnete Species M heisst abgeschlossen , wenn in ihr keine 

 Fundamentalreihe von geschlossenen Intervallen i x . i 2 , . . . existieren 

 kann, von denen i v+i für jedes v in i v enthalten ist, und welche 

 kein geineinschaftlicb.es Element besitzen. 



Die geordnete Species M heisst in sich dicht., wenn jedes ihrer 

 Elemente sicli als Hauptelement charakterisieren làsst. 



Die geordnete Species M heisst perfeht, wenn sic sowohl in sich 

 dicht wie abgeschlossen ist. 



Ein Beispiel einer (im weiteren Sinne) überall dichten, perfekten 

 M enge liefert die M enge C, geordnet auf Grnnd der natürlichen 

 Rangordnung der von ihr erzengten reellen Zahlen zwischen und 1. 

 Seien narnlich a { . . a n h x b 2 . . . und a x . . a n c x c 2 . . . (b x >■ c x ) zwei 

 willkürliche Elemente von G, so liegt zwischen ihnen das Element 

 a x . . a n c x (c 2 -(-])..., sodass die Menge überall dicht ist. Versuchen 

 wir weiter eine l^undamentalreihe von geschlossenen Intervallen i x , 

 i 2 , . . . zu bestimmen, von denen i v+l für jedes v in i v enthalten ist, 

 und welche kein gemeinschaftliches Element besitzen. Seien a x . . 

 a n b n+i . . . und a x . . a n c n+i . . . (b n+i >■ c (i+1 ) die Endelemente von 

 i x , so besitzen die Endelemente eines willkürliehen i v dasselbe 

 Anfangssegment a x . . a n , wahrend b ll+i für die weiteren i v nicht 

 zunehmen und c n+i für die weiteren i v nicht abnehmen kann. Solange 

 nun 5 /l+l undc n+1 dieselben voneinander verschiedenen Werte behalten, 

 gehort das Element a x . . a n (c„ +1 — |— 1) 111. . . zuiii entsprechenden 

 'i v ; damit man mithin sicher sei, dass dieses 'Element nicht zu allen 

 i v gehort, muss sich ein gewisses i v artgeben lassen, für welches 

 entweder b ll+i abgenommen oder c n+i zugenommen hat. Weil die- 

 selbe Schlusstolgerung sich beliebig wiederholen liisst, muss sich ein 

 weiteres i v angeben lassen, für welches b n+i = c ll+i = a n f geworden 

 ist, dessen Endelemente also dieselben ersten n -f- 1 Ziffernkomplexe 

 besitzen. Seien a x . . a n+m b, l+w+i . . . und a x . . a n+m c n+m+i . . . 

 {b ,, +m+] > Çn+m+ù diese Endelemente, so können wir in derselben 

 Weise, wie wir aus der Folge a x . . a n die Eolge a x . . a n+m her- 

 geleitet haben , aus a t . . a n+m zu einer weiteren Eolge a x . . a n+m+p 

 gelangen, und, in dieser Weise fortfahrend, eine unbegrenzt fort- 

 setzbare Folge a x a 2 . . . konstruieren. Das von dieser E'olge dar- 

 gestellte Element von C gehort nun aber zu allen i v , womit wir 

 zu einem Widerspruch gelangt sind, und die betrachtete geordnete 



Verhünd. der Kon Akad. v. Wetensch. Me Sectie) Dl. XII. E 2 



