18 BEGRÜNDUNG DER MENGENLEHRE UNA.BHA.NGIG VOM 



Menge als 'aègesc/ilossen erkannt haben. Schliesslich ist das Element 

 a { a 2 «g. . . Grenzelement (1er steigenden Lunula mentalreihe (a x -j- 1) 

 1 J L . . ; a x {a 2 + 1) 111 ... ; a x a 2 (a 3 '-{- 1) 1 11 . . .*, . . ., womit 

 die Menge sich auch als in sic// dicht herausgestellt bat. 



Kin Beispiel einer nirgends dichten, perfeMen Menge wird gebil- 

 det von der Vereinigung der Menge C und der Menge E del- 

 end lichen Polgen von zu <f gehörigen Ziffernkomplexen, wenn wir 

 jedem Elemente a x . .a n von E die réelle Zahl 



2 -4— ?-+ 1 2 ' 



und jedein Elemente a t a 2 a 3 . . . von C die réelle Zahl 



A i 2 « _? i 



zuordnen, und sodann die Menge ^>{C,E) ordnen auf Grund der 

 natürlichen Raugordnung der entsprechenden reellen Zahlen. Zum 

 geschlossenen Intervall mit den Endelementen a x . . a a b lt+i . . . (bzw. 

 a x . .a n ) und a x . .a n c, l+i . . . (b n+i > c n+1 ) gehören namlich die Ele- 

 mente «j . .a n b n+i 111 .. . und a x . .a„ (b„ +i — 1), zwischen denen 

 kei ne weiteren Elemente liegen, sodass die Menge nirgends dicïd 

 ist. Versnellen wir weiter eine b nndamentalreihe von geschlossenen 

 Intervallen \,i*,. . . zu bestimmen, von denen i v+i fiir jedes t v in 

 /., enthalten ist, und welche kein gemeinschaftliches Element besitzen. 

 Seien a x . . a n è n+i . . . (bzw. a x . . a n ) und a x . . a n c„ +1 . . . (b l)+i >> c n+i ) 

 die Endelemente von L, so besitzen die Endelemente eines will- 

 kürlichen i v dasselbe Anfangssegment a 1 ..« ns wâhrend b ll+i für 

 die weiteren i v nicht zunehmen oder verschwinden (wohl entstehen) 

 und c n+1t fiir die weiteren i v nicht abnehmen kann. Solange nun 

 à n+i nicht existiert, gehort das Element a x .. a n zum entsprechenden 

 i v , und solange b n+i und c lt + ] dieselben voneinander verschiedenen 

 Werte behalten, gehort das Element a { . .o n (c n+i -j- 1) 1 11 - - . 

 zum entsprechenden i v ; damit man inithin sicher sei, dass jedes 

 dieser beiden Elemente nicht zu allen i v gehort, muss sich ein 

 gewisses i v angeben lassen, für welches b n+l existiert, wâhrend, falls 

 noch immer b n+x 7^ c n+1 , entweder ó ll + i abgenommen, oder c rt+1 

 zugenommen hat. Weil dieselbe Schlussfolgerung sich beliebig wieder- 

 holen lasst, muss man ein weiteres i v angeben können, für welches 

 b n+i — c n+i = «,, +1 geworden ist, dessen Endelemente also die Form 

 Oy ■ -a n+m b n+m+ï . . . (bzw. a x . rfl n+B1 ) und a x . .a n+m c n+m+l . . . be- 

 sitzen. Indem wir mit diesem Intervall in derselben Weise ver- 

 fahren wie mit >\ und diesen Prozess unbeschrànkt fortsetzen, 

 erzeugen wir eine unbeschrànkt fortsetzbare Eolge a, a 2 a 3 . . ., 



