LÇGISCHEN SATZ VOM ATJSGESCHLOSSENEN DBITTEN. 19 



wclche aber ein zu allen i v gehöriges Element darstellen würde, 

 womit wir wieder zu einem Widerspruch gelangt sind, und die 

 betrachtete geordnete Menge als abgescli lossen erkannt haben. 

 Schliesslich ist das ElemeqJ a 1 a 2 a 3 ... Grenzelement der steigen- 

 den Fundamentalreihe a y ; a 1 a 2 ; a x « 2 a z * • • • > un( ^ ^ as Element 

 a 1 a 2 . .a n Grenzelement der fallenden Fundamentalreihe a 1 ..a n l; 

 a x . .a n 2; a x . . a n 3 ; . . . , womit die Menge sicb nis in sich dicht 

 herausgestellt hat. 



Die Ordinalzahl der Menge der. rationalen Zahlen zwischen 

 und 1 (exklusive und 1) in ihrer natürliehen Etangordnung wird 

 mit vj bezeichnet. Wir werden zeigen, dass jede abwhlbar unend- 

 liche, im engeren Sinne libera II dichte geordnete Speciën die Ordi- 

 nalzahl vj besitzt. 



Sei M die gegebene geordnete Species, m 1} m 2> m 3 ,. . . ihre 

 Elemente, R die a uf Gr und der natürlichen Rangordnung geordnete 

 Menge der rationalen Zahlen zwischen und 1, r x -, r 2 , ''•>,••• 

 ihre Elemente, wobei die ïndizes auf Grund einer (z.R. nach S. 7 

 hergestellten) eineindeutigen Beziehung zwischen R vind der Folge 

 <f ■ bestimmt sind. Deni Elemente m^ ordnen wip das Element r x 

 zu; sodann dein Elemente r 2 dasjenige mit m 2 zu bezeichnende 

 Element m v mit moglichst kleinem Index v, das zu w x dieselbe 

 ordnende Relation besitzt, wie r„ zu r 1 ; sodann dem Elemente 

 )»\ (welches mit ?« 3 oder mit m 2 identisch ist, je nachdem wir m 2 

 schon benutzt haben oder nicht) dasjenige mit r' 3 zu bezeichnende 

 Element r v mit moglichst kleinem Index v, das zu r x und r 2 die- 

 selben ordnenden Relationen besitzt, wie m'$ zu ni x und w', : sodann 

 dem Elemente r\ (d.h. dem noch nicht benutzteu Elemente r v mit 

 moglichst kleinem Index v) dasjenige mit m\ zu bezeichnende Ele- 

 ment m v mit moglichst kleinem Index v, das zu n^ , m\ und m 3 die- 

 selben ordnenden Relationen besitzt, wie r\ zu t\ , r 2 und r',. Indem 

 wir in dieser Weise fortfahren, bestimmen wir zwischen M und R 

 eine solche eineindeutige Beziehung, welche die beiden Species als 

 ahnlich erkennen lasst. 



Eine geoi'dnete Species heisst differenziert geordnet, wenn bezüg- 

 lich zweier willkürlicher Elemente a • und b entweder Sicherheit 

 erlangt werden kann , dass zwischen ihneu kein weitercs Element 

 liegt, oder ein zwischen a und b liegendes Element angegeben 

 werden kann. Wir werden zeigen, dâs jede abzàhlbar unendliché, 

 differenziert geordnete Species M .sic// als abtrennbare Teilspecies 

 einer geordneten Species der Ordinalzahl \] auffassen lii-ssf. 



Die obige Konstruktion einer eineindeutigen Beziehung zwischen 

 M und R lâsst sich nàmlich auf diesen Fall erweitern, wenn wir 



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