LOGISCHEN SATZ VOM AUSGESCHLOSSEN EN DRITTEN. 21 



„nach" oder „nicht nach" besitzt, wie y zu den entsprechenden 

 Elementen von D, so erzeugen wir eine eineindeutige Beziebung 



zwischen (S (E, C) mul P, welche diese beiden Species als âhnlich 

 darstellt. 



Unter der Menge S werden wir verstellen die Men ge der Ter- 

 nalbrüche der Form 



ó 'i I h _i_ ^3 _j_ 

 3" r 3 2 '3 3 " r ' 



vvo für jedes s v entweder die Ziffer oder die Zifter 2 gewàhlt 

 werden darf, und die Ordinalzahl der auf Grnnd der natürlichen 

 Rangordnung geordneten Menge S werden wir mit £ bezeichnen. 



Es gilt der Satz: jede nirgends dichte geordnete Species J J , deren 

 Species I der /reien. Intervalle abzàlilbar unendlich und im engeren 

 Sinne überall dicht ïsl, wàhrend für ein willkürliches Element p von 

 P und ein mllkürliches Inter call i von I wit de/n linken Endele- 

 ment i ] und dem rechten Endelement i 2 sich entschciden lasst, ent- 

 toeder dass p vor i, d.h. nicht nach i., oder dass p nach i, d.h. 

 nicht oor i 2 liegt, and zu jeder der Ordn/ingseigenschaft geniigenden 

 Fuiida ment alrei he von ordnenden Belationen zu den Intervallen von 

 1 ein diese Belationen erfïtllendes Element von V konstrniert werden 

 lann, besitzt die Ordinalzahl Ç. 



Die Species Q der Endeleniente der freien Intervalle lâsst sicb 

 namlieh auf' die obige geordnete Menge T von endlichen Ternal- 

 brüchen âhnlich abbilden. Wenn wir nun jedem Elemente y von 

 8 dasjeuige Element cc von P zuordneri', welches zu den Intervallen 

 von 1 dieselben ordnenden Relationen besitzt, wie y zu den ent- 

 sprechenden freien Intervallen von T, so erzeugen wir eine ein- 

 eindeutige BeziehuDg zwischen S und P, welche diese beiden Species 

 als âhnlich darstellt. 



Als Beispiel einer Species P der letztgenannten Art könncn wir 

 wâhlen die Menge G„ tt) „ der Fundamental reihen z x z 2 z. i ... 

 von solchen positiven ganzen Zahlen, von denen die erste nicht 

 grosser als- n x , die zweite nicht grosser 'als n 2 , die dritte nicht 

 grosser als n. 6 , usw. ist, wenn wir diese F un damen talreihen auf 

 Grund der natürlichen Rangordnung der entsprechenden reellen 

 Zahlen 



2(%— 1) f 2(y-l) %H—D , 



2^—1 ~*~ (2^— 1)(2* 2 — 1) ~ h 2« 1 -^l)(2^ 2 — 1) (2*3 — l)" 1 "' ' ' ' 



ordnen. Alsdann entspricht jedes Paar von Endelementen eines 

 Intervalles von 1 einem aus den Zahlen 



