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LOGISCHEN SATZ VOM AUSGESCHLOSSENEN DRITTEN. 25 



entweder endlich gewahlt sein., oder eine solche Fundamentalreihe 

 l)ildei), dass vor einer willkürlichen konstruktiven Unterspecies von 

 I nur eine bestimmte endliche Zabi von Schnittspecies liegt. 



Alsdann kann man auf Grund der obigen Formeln 1 — 4 die 

 Zerlegungen der <r auf diejenigen konstruktiven Unterspecies von t 

 übertragen, welche die <r als Unterspecies enthalten, und in dieser 

 Weise fortfahrend, schliesslich eine Zerlegung von F in eine Summe 

 von F ( "\ welche Tceine konstruktiven Unterspecies von F sind, 

 und Unterspecies von F genannt werden, erlangen. Indein wir 

 denselben Prozess auf die F (l,) anwenden und in dieser Weise 

 beliebig fortfahren, gelangen wir zu mannigfachen auf Grund (1er 

 beiden erzeugenden Operationen möglichen neuen Erzeugung sar ten 

 von F. 



Weim F, F' und F" wohlgeordnete Species sind, und F= F' -\- F", 

 so h'eisst F' ein Anfangssegment oder ein Abschnitt von F, F" ein 

 Endsegment oder ein h'est von F. Wir schreiben auch : F" = F — F' 

 und nennen F" die Different von F und F' . Wenn F einen 

 Abschnitt i{F) mit einem einzigen Element besitzt, so heisst sie 

 eine kondensierte wohlgeordnete Species, und h{F) = F — i(F) 

 wird der Hanptrest von F genannt, Ein Abschnitt von F, dem ein 

 wenigstens ein Element besitzender Rest eiitspricht, heisst ein echter 

 Abschnitt von F; der zugehörige Rest ein echter Rest. 



Aus der Definition der vvohlgeordncten Species folgt, dass die 

 Summe einer endlich en Zahl oder einer Fundamentalreihe con toohl- 

 geordneten Qrdinahahlen wieder eine wohlgeordnete Ordinahahl ist. 

 Weil, wie man leicht einsieht, das Produkt von zwei elemente- 

 fremden wohlgeordneten Species F 1 und F 2 wieder eine wohlgeord- 

 nete Species F 1 . F 2 ist (aus F 2 wird nàmlich eine mit F 1 .F 2 

 ahnliche Species erhalten, indein man die Elemente von F 2 clurch 

 mit F l àhnliche Species ersetzt, sodass mit der Erzeugung von F 2 

 eine Erzeugung von F l .F 2 parallel lâuft), so haben wir weiter, 

 dass das Produkt einer endlich en Zahl con wohlgeordneten Ordir 

 nalzahlen (2 1} /3 2 ,../3„ wieder eine wohlgeordnete Ordinahahl 

 j6 t ./3 2 . . ./3„ ist. Weil mit einer neuen Erzeugungsart eines will- 

 kürliehen fi v eine neue Erzeugungsart von (2 1 . (2 2 . . . (2 n parallel 

 lauft, so liefern verschiedene Erzeugungsarten der $, gleiche Oi'di- 

 nalzahlen /3j ./3 2 . . . (3,,. 



Sei a. eine koiidensierte wohlgeordnete Ordinalzahl, (2 eine will- 

 kürliche wohlgeordnete Ordinalzahl. Alsdann wird die Potenz a? , 

 in welcher oc das Argument , /3 (1er Exponent heisst, auf Grund der 

 folgenden Festsetzungen definiert : 



